若PM⊥AB，则有AP ^2一AM^2 =BP^2 一BM^2。

证明:若直线PM⊥AB于N，则

AP^2 一AN^2 = PN^2;

AM^2 一AN^2 = MN^2.

以上两式相减得

AP^2 一AM^2 = PN^2 一MN^2.①

同理，

BP^2 一BM^2 = PN^2 一MN^2.②

由式①、②得

AP^2 一AM^2 = BP^2 一BM^2 .③

证毕。

反之，若有AP ^2一AM^2 =BP^2 一BM^2成立，则PM⊥AB。

证明:设∠ANP=α，则∠BNP=π-α.

故AP^2 一AM^2

= AN^2 + PN^2 - 2AN·PNcosα+2AN·MNcosα一AN^2 一MN^2

= PN^2 一MN^2 一2AN·PNcosα+2AN·MNcosα.

BP^2 一BM^2

= PN^2 + BN^2 一2PN·BNcos(π-α) 一MN^2 一BN^2 + 2MN·BNcos(π-α).

= PN^2 一MN^2 + 2PN·BNcosα一2MN·BNcosα.

由式③得

2AN·MNcosα一2AN·PNcosα

= 2PN·BNcosα一2MN·BNcosα，

即MN(AN + BN)cosα

= PN(AN + BN)cosα.

从而，(PN 一MN) cosα=0，即PM cosα=0.

因此，cosα=0.

又因为0<α<π，所以α= π/2.

故PM⊥AB.

证明:以长度为d的线段AB上任意一点为原点O，过O点且垂直于线段AB的直线OM为y轴建立以OA为x正半轴的平面直角坐标系，并设A(一t,0)、B(d-t,0)、M(x,y)，(其中t>0)，则

∵AM^2 一MB^2=k(定值)

∴[(x+t)^2-y^2]- [(x-d+t)^2-y^2]=k

∴x=﹙d^2-2dt+k﹚/d(常数)

所以，点M的轨迹是一条垂直于AB的直线。