和圆有关的定值与最值

陈铁成

一、圆中的定值

1、如图，AB、CD为圆O的两条直径，AB=12，且∠AOD=120°，点P为AD弧上一点（不与A、D重合)，过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.

（1）求∠EPF的度数.

（2）点P运动过程中，△OEF中是否有长度不变的边？若有，求出其长度；若没有，请说明理由.

解：（1）根据四边形的内角和易得∠EPF=60°.

（2）分别延长PE、PF交圆于点M、N，连接OM、ON、MN.如图：

由垂径定理可知，PE=EM，PF=FM，

所以EF是△PMN的中位线，

所以EF=1/2MN.

由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得，

∠MON=2∠EPF=120°.

在△OMN中，MN=√3OM=6√3，

所以EF=1/2MN=3√3.

2、如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是AB弧上一个动点（不与点A、B重合），且OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为点D、E..在△DOE中是否存在长度保持的边？如果存在，请指出并求其长度；若不存在，请说明理由.

解：连接AB.由垂径定理易得，CD=DB，CE=EA，

所以DE是△CAB的中位线，

所以DE=1/2AB.

在Rt△AOB中，AB=2√2，

所以DE=1/2AB=√2.

二、圆中的最值

3、如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=75°，AC=6.点D是AB边上一个动点，以CD为直径作圆O，分别与AC，BC边交于点F，G.求线段FG的最小值.

解：在△ABC中，∠A=45°，∠B=75°.

所以∠ACB=60°.

连接OF，OG.

根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得，

∠GOF=2∠ACB=120°，

所以△GOF是顶角为120°的等腰三角形.

所以GF=√3OF.

要使GF有最小值，只需OF有最小值.

而OF=1/2CD，所以当CD取最小值时GF有最小值.

根据垂线段最短易知

当CD⊥AB时，CD有最小值.

此时CD=√2/2AC=3√2. OF=1/2CD=3√2/2.

FG=√3OF=3√6/2.

反思：在解决动点问题时，要善于抓住运动过程中的不变量.比如本题中虽然点D的运动引起点O、F、G的位置不断变化，而且圆的半径也随之而变化，但只要牢牢抓住∠FOG=2∠ACB=120°这一不变量，问题的脉络就开始清晰起来.

4、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=6，BC=8.点D、E分别是BA，BC边上的动点，且DE=6。以DE为直径作圆O,交AC边于点G，H。求线段GH的最大值。

由题可知，虽然题中圆的位置不断变化，但是圆的半径始终不变。线段GH是圆O的一条弦，要使GH有最大值，只需GH的弦心距（即圆心O到GH的距离）最小即可。由此,问题的关键转化为求圆心O到AC边距离的最小值。因为AC的位置固定，所以确定圆心O的轨迹就成为解决本题的关键（再次转化）。由题可知点O是DE的中点，且∠DBE=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得BO=1/2DE=3.所以点O在以B为圆心，3为半径的圆上（确切地说，在以B为圆心，3为半径的1/4圆上）。如图：

如图，过点O作OF⊥AC于点F，过点B作BK⊥AC于点K，连接OB，BF.

则OB+OF>=BF>=BK.（当点F与点K重合时取等号）

易知BK=24/5，所以OF>=BK-OB=24/5-3=9/5.

连接OG,如下图：

在Rt△OGF中，OG=3，OF=9/5，

所以GF=12/5.

根据垂径定理可得，

GH=2GF=24/5

所以GH的最大值为24/5.