最有名的应力函数是弹性力学平面问题中的艾里应力函数。如果没有体力，平面中的三个应力分量σxx、σyy、τxy满足下列方程：

根据方程(1),可将应力分量用一个函数φ（x，y）表示为：

φ便是艾里应力函数。对于均匀和各向同性的物体,φ是一个双调和函数，即它满足下列双调和方程：

ΔΔφ=0，　 (3)

式中Δ是平面的拉普拉斯算符。引入φ后,平面问题原来的8个未知函数(两个位移分量、三个应变分量和三个应力分量σxx、σyy、τxy就归结为一个函数φ。这对求解具体问题很有好处。

在弹性柱体的扭转问题中,剪应力分量τxz、τyz满足下列平衡方程：

据此可将τxz、τyz用一个函数Ψ(x，y)表示为：

Ψ称为普朗特应力函数。对于均匀和各向同性的柱体,Ψ满足下列方程：

ΔΨ=-2Gθ，　(6)

式中G为材料的剪切模量（见材料的力学性能）;θ为单位长度的扭转角。

扩散效应是与极化效应同时存在、作用力相反的增长极效应。其表现是，生产要素从增长极向周边区域扩散的趋势。为什么增长极的产业会向周边地区扩散呢？

第一， 经济上的互相依存，使增长极在产生伊始，就存在扩散效应。在极化区域的生产要素与增长极聚集的过程中，形成了一个连续不断的物流，由于市场交易的存在，增长极在获取物质资料的同时，资金也同时流向周边地区。只在两地建立了市场经济的贸易关系，生产要素就始终是双向流动的，所以极化效用和扩散效用也是同时存在的。

第二，由于技术发展水平的不断提升，增长极上的产业技术不断发生更替。增长极存在着产业不断更替的规律，被更替下来的产业向增长极周边地飞转移，随着增长极的规模扩大和技术水平提升，这种趋势越来越明显，表现出来的结果是扩散效应一天比一天增大。

点轴开发模式

第三， 随着社会经济发展水平的提高，产业部门存在扩散的趋势。对一些在增长极无法从事的产业的需求越来越大，加入到这些产业的生产要素从增长极向周边扩散，以促进这些产业的发展。例如，旅游业、资源开采业、仓储业、以及倾向于原料产地的制造业等。扩散效应又被称为“涓滴效应”，即生产的发展通过扩散而促进增长极周边所有地方的发展，从而缩小地区之间的差异。

扩散效应会不会产生“点轴模式”？这关键要看扩散的方向和强度。如果让生产要素沿着一个既定的方向大强度扩散，比如沿一条主要交通线扩散，就可以形成一个规划中的发展轴，形成“点轴模式”，但这只有在政府的强势引导条件下才能做到。

在一般的市场经济条件下，生产要素将向能够获得最大效益的最优区位的方向扩散，而其方向不是固定的。用韦伯的区位论的思想来解释，就是企业总是要获得运费最低的布局地点这一基本论断。这样人们也就可以解释为什么上海的产业扩散方向是江浙的长江三角洲地区，而不是沿长江溯江而上；目前形成的是长江三角洲都市圈，而不是沿长江发展轴。

为什么生产要素不会沿一条主要交通线扩散？因为人们的交通运输获得了长足的发展，一个交通运输的网络已经基本形成。假设对于两个面积和人口都相等的经济区域而言，如果人们舍去其他因素的影响，一个绵延千里的区域，单位产值的生产成本必然高于一个具有很大紧凑度的区域。（咸彤供）