在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以梢加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为了定量地描述客观事物的"非规则"程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

分维的概念我们可以从两方面建立起来:

一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有:

a^D=b, D=logb/loga

的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。另一方面，当我们画一根直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中包含无穷多个点;如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。那么，用怎样的尺度来量它才会得到有限值哪?看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为1(大于0、小于2)。与此类似，如果我们画一个Koch曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0(此曲线中不包含平面)，那么只有找一个与Koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能是小数(即分数)了，所以存在分维。其实，Koch曲线的维数是1.2618……。

1973年，曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形(Fractal)一词，是曼德布罗特创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。曼德布罗特曾经为分形下过两个定义:

Dim(A)>dim(A)

的集合A，称为分形集。其中，Dim(A)为集合A的Hausdoff维数(或分维数)，dim(A)为其拓扑维数。一般说来，Dim(A)不是整数，而是分数。

然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对"生命"也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。

(i)分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。

(ii)分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。

(iii)分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。

(iv)一般，分形集的"分形维数"，严格大于它相应的拓扑维数。

(v)在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。

数学家曼德布罗特(B. B. Mandelbrot)经历了不平凡的潜心研究，于1975年出版了他的关于分形几何的专著《分形、机遇和维数》，标志着分形理论的诞生。

1.从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。

2.在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。其中一些是用来描述一般随即现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的。

在制作分形图形的过程中，我找到了许多结构，发现它们能够形成有规律的平铺图形。而这种图形很适合用在刚提到的这些领域，反观当下的平铺图，都千篇一律，没有新意。分形图最具价值的地方就是它的结构和规律，如果用在这些领域，会产生怎样的价值呢?

这些年视觉工程领域越来越受欢迎了，2013春晚的效果非常棒。其中有个剪花花的节目，里面有些分形的味道。其实国外很多大片都应用了分形，早在星球大战里，黑武士和天行者拼极光剑的时候，那周围喷涌的岩浆，就是利用分形生成的。用来艺术创作的分形软件有不少了，而且还发展的比较成熟，可以进行动画的制作。这类艺术创作软件能做出比电影里更绚丽的特效来。很多分形艺术作品具有很好的装饰性，如果根据需要的环境、情景来挑选适当的分形软件来做视觉特效的话，效果可以非常棒。其实春晚剪花花里的那段万花筒效果已经做的非常到位非常好看了，然而在分形软件里只是一个很小的把戏而已，人们没看到过的震撼效果，分形软件里还多着呢，只是需要一位技术娴熟的分形艺术家而已。

分形艺术中优美丰富的图形可以应用到各种布局中 如舞台设计,园林设计，建筑设计等(悉尼歌剧院)。举个例子吧，我们在apophysis里经常用到julian、庞加莱这些变幻，能够把任何结构嵌入到这两种结构里去，形成很华丽惊艳的效果。比如说园林设计里，如果你按照julian的某些形态去构建一些构造，将原来呆板的布置按照分形图形的结构去摆放，像花坛这种就非常好。比如舞台艺术中，那些灯光的效果、舞蹈造型、舞台造型等等。分形艺术不仅仅是好看而已，她里面还蕴含了深刻的哲学美感，如果一些现实应用采用了分形方案，将可能是非常有创意、深度、境界的设计。

如广告业，作为素材制作新颖的广告画面，各类商品包装的设计，网站设计等。

最经典案例的莫过于国外那条价值连城的julia集钻石项链，珠宝设计师把一颗颗钻石、蓝宝石按照julia集的分形结构给串联在一起，产生了史无前例的绝美效果。这是一种提升竞争力的有效方法，当很多商家都在生产相同功能、外形相近的产品时，如果哪一家采用了分形元素，可能结果就大不一样了。

随着生活水平的提高，人们越来越注重生活品味了。分形艺术的最显而易见的优势就是很好的装饰性。选择比较有个性、优美的分形元素，可以起到很好的装饰效果。最简单的方法就是分形艺术装饰画、墙贴、艺术壁纸等了。

书籍插画、挂历、台历、海报、明信片、邮票等等，甚至可能的话，以后哪一版的人民币将会采用分形图案。因为分形图案可以做到复杂的精细的令人难以置信的程度，这样的人民币可能是非常难伪造的。生成一个复杂的分形图案，如果删除了设计时的参数代码，那就可以做到一劳永逸地防止盗版了，就连设计师本身也几乎不可能做个一模一样的出来。因为没有代码和参数，是无法再现该图案的。