能源物质或发动机的效率η，可以表示为做功W或A与能量E或热Q的比，即
η= W/E = A/E
由⑶--⑺式，及⑼-⑿式的E=Q W=PE （1-P)E，W=A=（1-P)E，则
η= 1-P = 1-Wi/Ω = q ⒁
或
η= 1-lnW/lnΩ = -lnP/lnΩ ⒂
= 1-S/klnΩ ⒃
由统计熵S=k`-`B`!`lnW，和P=W/Ω得
W=EXP(S/k`-`B`!`)
P=EXP(S/k`-`B`!`)/Ω
则效率还可以用熵表示
η=1-EXP(S/k`-`B`!`)/Ω ⒄
将P=2/3代入⒁式，就得到与η=1-Q`-`2`!`/Q`-`1`!`=1/3同样的结果
η=1-P=1-2/3=1/3
即单级无序热机的效率极限1/3。对于多级热机，后级热机所具有的总能量Ei 1，是前级热机排放出的热量Qi，Ei 1=Qi；他的效率就是前级热机效率的1/3，ηi 1=ηi（1/3），则n级热机的复合效率
ηn=∑∏ηi
对ηi=1/3的n级热机，他的复合效率的极限
limηn=lim∑（1/3）n=1/2
n→∞ n→∞
只有当P=0时，系统的微观状态高度有序，η=1-P=1，则发动机的效率为100%，这是单级发动机的效率。
如果用多级发动机，要想使发动机的效率达到1，只需每单级发动机的效率，即有序度为P=1/2就行，
limηn=lim∑（1/2）n=1
求解
若只想使用有限级的发动机就能使效率达到100%，利用复合效率公式，及其等比级数的和式S=a[（1-qn)/（1-q)]就能推出所需的单级发动机的效率或有序度P。通常，应有a=q=η，S=1。只用两级发动机，即n=2，就要使机组的效率趋向100%时，则S=a[（1-q2）/（1-q)]式有
η2 η - 1 = 0
`.`解得
η1=-（1 51/2）/2
η2=（51/2-1）/2
因η≯1，η≮0，故舍弃η1=-（1 51/2）/2，保留η=（51/2-1）/2的解。即只需发动机的单级效率η=（51/2-1）/2或P=1-η=（3-51/2）/2，就可使二级有序发动机的组合效率达到100%。此种组合的不完全有序因有序度P=（3-51/2）/2，较之完全有序P=1小得多，故实现起来相对于P=1要容易些、可能性更大些。其他级数的发动机也可仿此处理，他们的单级效率通常在（3-51/2）/2
热效率讨论
显然，在P=0和P=1这两种极端条件下，⑷-⑺，⑼-⑿式都是成立的。在理想状态下，若总平动能E=Ex Ey Ez=3pV=2NEk，而E=∑niεi，因此，
2NEk=∑niεi
Ek=（1/2N）∑niεi ⒅
又因为热机的E=Q W，将⒅式代入，故
Q=E-W
=E-pV
=2NEk-（2/3）NEk
=∑niεi-（1/3）∑niεi
=（2/3）∑niεi
即
E = （2/3）∑niεi （1-2/3）∑niεi
= （2/3）∑niεi （1/3）∑niεi
其中P=2/3，与⑷'式一致，微分后与⑸'式相符。
由⑷-⑺、⑼-⑿式知道内能U=∑niεi向U=Q W的分解式是形如
U=a∑niεi b∑niεi
和
dU=a（∑εidni ∑nidεi) b（∑εidni ∑nidεi)
或
E=a∑niεi b∑niεi
dE=a（∑εidni ∑nidεi) b（∑εidni ∑nidεi)
的关系式，且a=1-b或b=1-a。对于理想气体，由pV=NkT=（2/3）NEk，及⒅式，知
T=（1/3kN）∑niεi
则
Q=ST
=a∑niεi
a=S/3kN
`.`则
b=1-a
=1-S/3kN
这里的S是热力学熵。也可以有a=k1P,b=k2q.特别时，k1=k2.
用lnW/lnΩ和-lnP/lnΩ作为分解内能及其微分式的系数、参数，或用他们来描述、显示热与功在内能中所占的份额、比重或权重，是考虑到它与统计熵在形式上的相似性，故都取对数。
由⒅式，可将理想气体状态方程pV=NkT=（2/3）NEk扩展为具有更多、更深内涵的状态方程和关系式
pV=（1/3）∑niεi
T=（1/3kN）∑niεi
热效率结论
结果表明了理想状态下，系统的状态方程与量子能量式的关系。体系的粒子数和能级都对功产生影响。系统的温度与体系的能量也关系密切，系统内粒子数和能级的变化均会引起温度的变化。
内能量子式的有序化分解，同时又给出了一个非常重要的结果： 更精确的，定量化的热量量子式，及对"热"的更深层次的，更新的定义式： Q=P∑niεi，δQ=P（∑εidni ∑nidεi)。它比传统对"热"的定性诠释和理解"热是粒子的无规运动"更进了一步——可以定量，并且加深了对热本质的认识，即热是与量子（粒子）的能量（能级）及粒子运动的混乱程度（有序度，熵，分布）密切相关的。
能量或内能式E=∑niεi及其微分式，可以分解成象热力学第一定律那样的式子⑷-⑿式。热和功都与系统的熵、有序度q或lnW/lnΩ紧密相联。有序度是分辨系统内能或能量E=∑niεi状态、过程及其演化趋势的关键，更是分离热与功的根本参数。他体现并反映着热与功的权重，并改变了过去片面的微分分离式，加强了热力学与力学的联系。他是连接热学与力学、联系经典与近代热力学的桥梁，他决定着内能（能量）是产热还是做功及其大小和效率。他揭示了体系的微观、宏观有序度与热学和动力学特性间的内在关系，建立了微观粒子与宏观动力学质点间的联系，也使有序度与发动机的效率发生了联系，并得到了一个全新的效率公式η=1-P，他是提高发动机效率，改变发动机研究开发方向，突破热机效率极限1/3和1/2的新希望和理论基础。
热电联产论文
提高锅炉热效率途径