质量－弹簧－阻尼器系统研究背景

数学模型是定量地描述系统的动态特性，揭示系统的结构、参数与动态特性之间关系的数学表达式。其中，微分方程是基本的数学模型，不论是机械的、液压的、电气的或热力学的系统等都可以用微分方程来描述。微分方程的解就是系统在输入条件下的输出相应。所以，建立数学模型是研究系统、预测其动态响应的前提。通常情况下，机械振动系统的微分方程都是应用力学中的牛顿定律、质量守恒定律等。

分析这种系统时，首先要根据弹簧、阻尼器的物理意义对与其固连的质量块进行受力分析，然后用牛顿第

二定律列写质量块对应的合力方程，从而得到系统的数学模型——微分方程。在对质量块进行受力分析时一般遵循这样的原则：

（1）弹簧受到外作用时，在线性范围内，弹簧力的大小与弹簧的形变成正比，弹簧力的方向总是与形变方向相反；

（2）尼器可以看作是一个活塞液压缸系统，当活塞和液压缸之间存在相对运动时，主动一方总要受到另一方的阻尼力。对于线性阻尼器，阻尼力的大小与阻尼器端点的相对移动速度成正比。外力作用下，当弹簧或阻尼器的两端点都产生位移时，在确定弹簧形变方向和阻尼器端点相对移动速度时，情况相对有点复杂。针对这一问题，研究提出了一种利用数轴建立弹簧一质量一阻尼系统的数学模型——微分方程的简单方法，称之为数轴建模法。

质量－弹簧－阻尼器系统数轴建模法

弹簧、阻尼器、质量块是组成振动系统的理想元件。在对实际机械结构进行振动分析时，有时可以略去阻尼，系统简化为质量一弹簧系统。当物理系统的质量很小时，系统就可近似成阻尼一弹簧环节。图1(a)所示即为阻尼～弹簧环节，已知弹簧的刚度为k，阻尼器的阻尼系数为c，输入为位移，系统在输入位移作用下的输出设为以。来看一下如何用数轴法分析系统受力情况，进而列写系统的微分方程。

假设系统的A点处存在一个质量块m_A，这样可以通过分析其受力情况求得系统的微分方程。由于弹簧和阻尼器都是垂直放置的，故建立一竖直数轴。先来看数轴的正方向朝下的情况。将弹簧和阻尼器端点的位移顺序地标在数轴上对应位置，如图1(b)所示。弹簧在一端受到输入位移，作用后，另一端点也有位移，属于两端都产生位移的情况；阻尼器一端固定，另一个端点有位移输出。

如果按照一般的物理方法来列写系统微分方程，也需要取质量块m_A为脱离体，对其进行受力分析。经过能量

损耗后，输出位移必定小于输入位移，故弹簧受压，所受弹簧力向下；质量块受到弹簧压力使得阻尼器的活塞杆向下移动，这样活塞杆将受到缸体施加的向上的阻尼力，此阻尼力传到质量块，故m_A的受力分析简图如图1(e)所示。可见按照数轴法和一般物理方法求得的系统微分方程是一致的。

从上例可以看出，用数轴法分析系统受力，列写弹簧一质量一阻尼系统微分方程时，我们无需考虑弹簧的压缩或拉伸情况，也不用分析阻尼器内部活塞和液压缸的相互运动情况，只需建立一个数轴，规定原点、正方向和单位长度，把弹簧或阻尼器的输入位移变量和输出位移变量当作有理数按照实际顺序标在数轴上对应位置。

而弹簧力或阻尼力的方向的确定遵循以下原则：当系统中弹簧两端或阻尼器两端都有位移时，弹簧力或阻尼力的方向与所建立的数轴正方向相反；当弹簧或阻尼器只有一端有位移时，弹簧力或阻尼力的方向与弹簧或阻尼器端点的实际位移方向相反。

这种通过建立与系统平行方向的数轴，借助数轴分析系统中质量块的受力情况，进而根据牛顿第二定律列写系统微分方程的方法就称之为数轴建模法。在建立弹簧一质量一阻尼系统数学模型时，这种方法非常有效。

当弹簧一质量一阻尼系统含有两个或两个以上的质量块时，建立系统数学模型时需对每个质量块进行受力分析。由于相邻质量块间存在负载效应，用数轴法对系统进行受力分析时需考虑第一个进行受力分析的质量块如何选取。一般来说，前一个质量块的受力分析总是从相邻的后一个质量块受力分析开始。也就是说，第刀个质量块的受力分析要先考虑第n 1个质量块对其的作用。因此，可采取这样一个方法，即：沿着输入量(力或位移)作用方向寻找最后一个质量块，按照数轴法先分析其受力情况，然后逆实际运动方向依次分析其余质量块的受力情况，进而按照牛顿第二定律列出每个质量块的受力方程，然后联立即可得到系统的运动微分方程。

质量－弹簧－阻尼器系统研究结论

数轴建模法是一种简单有效的建立弹簧一质量一阻尼系统的数学模型的方法。它以数轴知识为基础，根据系统实际情况建立假想数轴，借助数轴确定系统中相应质量块所受弹簧力或阻尼力的大小和方向，进而求得系统微分方程。此方法在建立弹簧一质量一阻尼系统数学模型过程中起到了事半功倍的效果。

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