18世纪，著名的数学家欧拉曾经研究过摩擦力跟绳索绕在柱子上的圈数之间的关系。得出了著名的“欧拉缰绳理论”

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以下判断基于此图的基图连通。

无向图存在欧拉回路的充要条件

一个无向图存在欧拉回路，当且仅当该图所有顶点度数都为偶数,且该图是连通图。

有向图存在欧拉回路的充要条件

一个有向图存在欧拉回路，所有顶点的入度等于出度且该图是连通图。

混合图存在欧拉回路条件

要判断一个混合图G（V,E）（既有有向边又有无向边）是欧拉图，方法如下：

假设有一张图有向图G'，在不论方向的情况下它与G同构。并且G'包含了G的所有有向边。那么如果存在一个图G'使得G'存在欧拉回路，那么G就存在欧拉回路。

其思路就将混合图转换成有向图判断。实现的时候，我们使用网络流的模型。现任意构造一个G'。用Ii表示第i个点的入度，Oi表示第i个点的出度。如果存在一个点k，|Ok-Ik|mod 2=1，那么G不存在欧拉回路。接下来则对于所有Ii>Oi的点从源点连到i一条容量为(Ii-Oi)/2的边，对于所有Ii 欧拉回路解法

无向图欧拉回路解法

求欧拉回路的一种解法

下面是无向图的欧拉回路输出代码：注意输出的前提是已经判断图确实是欧拉回路。

C语言代码，不全，请不要直接粘贴。

intnum=0;//标记输出队列
intmatch[MAX];//标志节点的度，无向图，不区分入度和出度
voidsolve(intx)
{
if(match[x]==0)
Record[num  ]=x;
else
{
for(intk=0;k<=500;k  )
{
if(Array[x][k]!=0)
{
Array[x][k]--;
Array[k][x]--;
match[x]--;
match[k]--;
solve(k);
}
}
Record[num  ]=x;
}
}

pascal代码:

求无向图的欧拉回路（递归实现）

programeuler;
constmaxn=10000;{顶点数上限}
maxm=100000;{边数上限}
typetnode=^tr;
tr=record
f,t:longint;{边的起始点和终止点}
al:boolean;{访问标记}
rev,next:tnode;{反向边和邻接表中的下一条边}
end;
varn,m,bl:longint;{顶点数，边数，基图的极大连通子图个数}
tot:longint;
g:array[1..maxn]oftnode;
d:array[1..maxn]oflongint;{顶点的度}
fa,rank:array[1..maxn]oflongint;{并查集中元素父结点和启发函数值}
list:array[1..maxm]oftnode;{最终找到的欧拉回路}
o:boolean;{原图中是否存在欧拉回路}
procedurebuild(ta,tb:longint);{在邻接表中建立边(ta,tb)}
vart1,t2:tnode;
begin
t1:=new(tnode);
t2:=new(tnode);
t1^.f:=ta;
t1^.t:=tb;
t1^.al:=false;
t1^.rev:=t2;
t1^.next:=g[ta];
g[ta]:=t1;
t2^.f:=tb;
t2^.t:=ta;
t2^.al:=false;
t2^.rev:=t1;
t2^.next:=g[tb];
g[tb]:=t2;
end;
proceduremerge(a,b:longint);{在并查集中将a,b两元素合并}
varoa,ob:longint;
begin
oa:=a;
whilefa[a]<>adoa:=fa[a];
fa[oa]:=a;
ob:=b;
whilefa[b]<>bdob:=fa[b];
fa[ob]:=b;
ifa<>bthenbegin
dec(bl);{合并后，基图的极大连通子图个数减少1}
ifrank[a]=rank[b]theninc(rank[a]);
ifrank[a]>rank[b]thenfa[b]:=aelsefa[a]:=b;
end;
end;
procedureinit;{初始化}
vari,ta,tb:longint;
begin
fillchar(fa,sizeof(fa),0);
fillchar(rank,sizeof(rank),0);
fillchar(d,sizeof(d),0);
readln(n,m);
fori:=1tondofa[i]:=i;
bl:=n;
fori:=1tomdobegin
readln(ta,tb);
build(ta,tb);
inc(d[tb]);
inc(d[ta]);
merge(ta,tb);
end;
end;
proceduresearch(i:longint);{以i为出发点寻找欧拉回路}
varte:tnode;
begin
te:=g[i];
whilete<>nildobegin
ifnotte^.althenbegin
te^.al:=true;
te^.rev^.al:=true;
search(te^.t);
list[tot]:=te;
dec(tot);
end;
te:=te^.next;
end;
end;
proceduremain;{主过程}
vari:longint;
begin
o:=false;
fori:=1tondo
ifd[i]=0thendec(bl);{排除孤立点的影响}
ifbl<>1thenexit;{原图不连通，无解}
fori:=1tondo
ifodd(d[i])thenexit;{存在奇点，无解}
o:=true;
fori:=1tondo
ifd[i]<>0thenbreak;
tot:=m;
search(i);{从一个非孤立点开始寻找欧拉回路}
end;
procedureprint;{输出结果}
vari:longint;
begin
ifnotothenwriteln('Nosolution.')elsebegin
writeln(list[1]^.f);
fori:=1tomdowriteln(list[i]^.t);
end;
end;
begin
init;
main;
print;
end.

注意record中的点的排列是输出的倒序，因此，如果要输出欧拉路径，需要将record倒过来输出。

求欧拉回路的思路：

循环的找到出发点。从某个节点开始，然后查出一个从这个出发回到这个点的环路径。这种方法不保证每个边都被遍历。如果有某个点的边没有被遍历就让这个点为起点，这条边为起始边，把它和当前的环衔接上。这样直至所有的边都被遍历。这样，整个图就被连接到一起了。

具体步骤：

1。如果此时与该点无相连的点，那么就加入路径中

2。如果该点有相连的点，那么就加入队列之中，遍历这些点，直到没有相连的点。

3。处理当前的点，删除走过的这条边，并在其相邻的点上进行同样的操作，并把删除的点加入到路径中去。

4。这个其实是个递归过程。