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若N=2^n，则离散 的沃尔什变换对为图8
这里bi(z)为z的二进制数的第i 1位的值（即0或1）。如N=8时的变换核和反变换作用矩阵形式表示为 9。
1923年，美国数学系J.L Walsh提出walsh函数。函数展开有三种：Walsh序的Walsh函数，佩利序的Walsh函数，哈达玛序的Walsh函数。
沃尔什变换主要用于图像变换，属于正交变换。这种变换压缩效率低，所以实际使用并不多。但它快速，因为计算只需加减和偶尔的右移操作。沃尔什变换的定义如下：给定一个NXN像素块Pxy（N必须是2的幂），二维WHT定义为如图1：
沃尔什函数Wal(k，t)是美国数学家J．L．沃尔什(J．L．Walsh)1923年提出的，定义在半开区间0≤t<1的一组完备、正交矩形函数，其波形如图所示。从图中可见，函数只取 1和-1两个值。显然，它的抽样也只有 1和-1两个值，与数字逻辑中的两种状态相应，特别适合于数字信号处理。沃尔什变换与傅里叶变换相比，由于它只存在实数的加、减法运算而没有复数的乘法运算，使得计算速度快、存储空间少，有利于硬件实现，对实时处理和大量数据操作具有特殊吸引力。在通信系统中由于它的正交性和具有取值和算法简单等优点，便于构成正交的多路复用系统。
沃尔什函数与正弦-弦函数相同，也是一种完备的正交函数系。所谓完备性，就是所有相互正交的函数全部包括在该函数组内，再没有别的非零函数与它正交。因而，与在一定条件下，函数可以表示为傅里叶级数相似，对任一在0≤t<1单位区间平方可积的周期函数x(t)均可展开为沃尔什级数，且此级数具有收敛性。即，按x(t 1)=x(t)，则对所有t都有如图2.
式中a0是直流项，ak是序号为k的沃尔什波的幅度，其大小由下式确定，即如图3
由此可见，沃尔什级数可用于信号序列率谱分析，特别是被逼近的波形不光滑而是阶梯函数时，效果较傅里叶级数好。为了便于数字处理，对连续沃尔什函数进行等间隔抽样。设单位时间内取N个样点，则抽样间隔△t=1/N，以X(k)代替ak，故②式改写成为如图4
式③即离散沃尔什变换（DWT）的定义式。若已知输入信号数据x(n)，可求得相应序率谱幅度系数X（k）。同理，已知X（k)可通过逆变换求x(n)，即如图5
按沃尔什编号的沃尔什函数
沃尔什函数与正弦函数有所不同，在单位区间内由于不一定是周期函数，所以过零点的分布不一定是等间隔的。如图6所示。但为了与正弦函数的频率相对应，因此沃尔什函数定义单位时间内波形过零点数务(或变号数 ）为序率，它的1/2为列率并以Sk表示，即如图7
图中8个波形的序率是按自然递增的顺序排列的，所以称这种排列为按沃尔什编号（或列率排列）的沃尔什函数，以Walω(k，t)表示。下脚注ω表示按沃尔什编号。此外还有佩利（Paley)编号Walp(k，t)和哈达理(Hadamard)编号Walh(k，t)共三类。这三类编号的沃尔什变换是完全等价的，实际上只是排列次序有所不同而已。由于按哈达玛编号的沃尔什变换（WHT）其变换矩阵具有简单的递推关系，且正、反变换矩阵完全相同，所以获得广泛应用。如通信领域中的多路数字通信系统、语音加密、视频编码系统、雷达系统、图像通信系统；在信号处理领域中的信号分析与综合、功率谱分析、模式识别、图像处理。特别是在图像传输、存储系统中，用于图像压缩非常有效。
沃尔什变换虽有上述许多优点，但与建立在正、余弦函数基础上的傅里叶变换相比，在理论上和实践上还有许多问题需要研究和进一步解决。如相关与卷积的运算，以及如何从经济上和技术上解决以矩形波为基础的设备，来取代现有以正弦波为基础的大量设备等问题。
小波变换和沃尔什变换在测井曲线分层中的联合应用
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印度默黑什沃尔水电工程的环境冲突
印度默黑什沃尔水电工程的环境冲突
在默黑什沃尔水电工程的辩论中，环境激进主义与水电开发发生了冲突。本文关注着潜在的问题，井提出是否有办法解决印度水电所面临的最新问题。
离散余弦变换(DCT for Discrete Cosine Transform)是与傅里叶变换相关的一种变换，它类似于离散傅里叶变换(DFT for Discrete Fourier Transform),但是只使用实数。离散余弦变换相当于一个长度大概是它两倍的离散傅里叶变换，这个离散傅里叶变换是对一个实偶函数进行的（因为一个实偶函数的傅里叶变换仍然是一个实偶函数），在有些变形里面需要将输入或者输出的位置移动半个单位(DCT有8种标准类型，其中4种是常见的)。
最常用的一种离散余弦变换的类型是下面给出的第二种类型，通常我们所说的离散余弦变换指的就是这种。它的逆，也就是下面给出的第三种类型，通常相应的被称为"反离散余弦变换"，"逆离散余弦变换"或者"IDCT"。
有两个相关的变换，一个是离散正弦变换(DST for Discrete Sine Transform),它相当于一个长度大概是它两倍的实奇函数的离散傅里叶变换；另一个是改进的离散余弦变换(MDCT for Modified Discrete Cosine Transform),它相当于对交叠的数据进行离散余弦变换。
离散余弦变换，尤其是它的第二种类型，经常被信号处理和图像处理使用，用于对信号和图像(包括静止图像和运动图像)进行有损数据压缩。这是由于离散余弦变换具有很强的"能量集中"特性:大多数的自然信号(包括声音和图像)的能量都集中在离散余弦变换后的低频部分，而且当信号具有接近马尔科夫过程(Markov processes)的统计特性时，离散余弦变换的去相关性接近于K-L变换(Karhunen-Loève 变换--它具有最优的去相关性)的性能。
例如，在静止图像编码标准JPEG中，在运动图像编码标准MJPEG和MPEG的各个标准中都使用了离散余弦变换。在这些标准制中都使用了二维的第二种类型离散余弦变换，并将结果进行量化之后进行熵编码。这时对应第二种类型离散余弦变换中的n通常是8，并用该公式对每个8x8块的每行进行变换，然后每列进行变换。得到的是一个8x8的变换系数矩阵。其中(0,0)位置的元素就是直流分量，矩阵中的其他元素根据其位置表示不同频率的交流分量。
一个类似的变换, 改进的离散余弦变换被用在高级音频编码(AAC for Advanced Audio Coding)，Vorbis 和 MP3 音频压缩当中。
离散余弦变换也经常被用来使用谱方法来解偏微分方程，这时候离散余弦变换的不同的变量对应着数组两端不同的奇/偶边界条件。
位于新疆克孜勒苏柯尔克孜自治州乌恰县境内，地处东经73°58′、北纬39°42′，与吉尔吉斯斯坦的奥什州毗邻。口岸距乌恰县城150公里，距阿图什市250公里。与伊尔克什 坦口岸相对应的口岸为吉尔吉斯斯坦的伊尔克什坦口岸，位于吉奥什州境内，从该口岸至吉国奥什州仅210公里，比从吐尔尕特口岸出境到奥什近800公里。2011年该口岸迁至乌恰县，紧邻乌恰县城，占地10万平方米。
伊尔克什坦口岸是古丝绸之路上的一个重要通道和驿站，于1997年7月21日临时开通过货，于2002年5月10日正式对外开放，允许中吉两国及第三国的人员、货物、交通工具通行，为常年开放口岸。
2003年，口岸出入境人员4800人次，完成进出口货物18万吨，实现贸易额1.46亿美元。
伊尔克什坦口岸原称"斯姆哈纳口岸"，位于我国西陲第一村新疆克孜勒苏克尔克孜自治州乌恰县吉根乡斯姆哈纳村，地处东经73°58′，北纬39°42′，是中国最西部的一个口岸。距乌恰县城153公里，距克州首府阿图什市250公里，海拔2830米。口岸对面为吉尔吉斯斯坦共和国的奥什州，距该州首府奥什约220公里。
伊尔克什坦口岸定址于昆仑山山脉与西天山山脉交界处的克孜勒苏河流基座阶地上(俗称国民党老营房)，海拔2845m。在国家有关部委和自治区党委、人民政府及有关部门的帮助和支持下，口岸建设于1999年元月全面开工。截止2000年底口岸"一关两检"、货场、商业、客运、通信等基础建设已全部建设完成。据统计口岸总投约4000万元。
伊尔克什坦口岸 地理位置从州首府阿图什市出发，沿克孜勒苏河逆流而西行至萨哈勒恰特，沿支流吉根河转向西北，至吉根乡，然后转向西南，沿海拔3 221米的克孜勒套与海拔3 055米的柯尔克昆盖依套之间的峡谷，向西南而上。这是一个遥遥几十公里长的大峡谷，南山巍峨，北山耸峙，高峻挺拔，起伏逶迤，山中怪石林立，岣岩交错。穿行峡谷之间，使行人在惊险之中，得到一种特有的享受。出峡谷至斯木哈纳，再沿克孜勒苏河而上，过克孜勒苏河大桥，一条南北流向的伊尔克什坦河便挡住了去路，这里就是伊尔克什坦。
伊尔克什坦原属我国帕米尔之腹地，从西汉划人我国版图，直到清代，一直是我国与中亚各国友好往来的交通要道。
离散余弦变换被广泛的应用，像是资料压缩、特征萃取、影像重建等等。多维度离散余弦变换为：
余弦变换离散余弦变换
