第1章线性规划问题的数学模型

1.1线性规划问题的提出

1.2线性规划问题的标准形式与典则形式

1.3线性规划问题的解

1.4线性规划问题的对偶理论

第2章求解线性规划问题的一般方法

2.1枚举法

2.2两个变量线性规划问题的图解法

2.3单纯形法

2.4对偶单纯形法

2.5有界变量的线性规划问题求解方法

2.6其他方法

第3章定界对偶算法

3.1定界对偶算法的提出

3.2定界对偶算法的迭代方法描述

3.3定界对偶算法的正确性证明

3.4定界对偶算法求解示例

第4章特殊线性规划问题的定界对偶算法

4.1运输问题

4.2分派问题

4.3有向图的最短路问题

4.4最大流问题

4.5最小费用流问题

4.6最小树权下界问题

4.7博弈问题

4.8最大权匹配问题

4.9最大基数匹配问题

4.10计划网络图的关键路线问题

4.11装载问题

第5章定界对偶算法的灵敏度分析

5.1目标函数中常数c发生变化

5.2变量的上、下界u，v发生变化

5.3增加新约束条件的分析

第6章经典的线性规划对偶问题

6.1原材料与产品的对偶

6.2运输与贩卖的对偶

6.3关键路径与里程碑结点的对偶

6.4二人零和博弈的局中人策略的对偶

第7章整数规划问题

7.1整数规划问题的提出

7.2化为0—1型整数规划求解

7.3割平面法

7.4分枝定界法

第8章多目标规划问题

8.1多目标规划问题的提出

8.2目标规划的图解法

8.3目标规划的定界对偶算法求解示例

8.4多目标规划化为单目标规划求解

参考文献

后记2100433B

《线性规划问题的统一建模与快速算法》可作为运筹学、管理学、系统工程等专业的线性规划课程研究生教材，也可供有关专业的院校教师、研究生和大学高年级学生以及从事经济管理研究的相关人员作为参考用书。

单纯形算法利用多面体的顶点构造一个可能的解，然后沿着多面体的边走到目标函数值更高的另一个顶点，直至到达最优解为止。虽然这个算法在实际上很有效率，在小心处理可能出现的“循环”的情况下，可以保证找到最优解，但它的最坏情况可以很坏：可以构筑一个线性规划问题，单纯形算法需要问题大小的指数倍的运行时间才能将之解出。事实上，有一段时期内人们曾不能确定线性规划问题是NP完全问题还是可以在多项式时间里解出的问题。

第一个在最坏情况具有多项式时间复杂度的线性规划算法在1979年由前苏联数学家Leonid Khachiyan提出。这个算法建基于非线性规划中Naum Shor发明的椭球法 (ellip-soid method)，该法又是Arkadi Nemirovski（2003年冯‧诺伊曼运筹学理论奖得主）和 D. Yudin的凸集最优化椭球法的一般化。

理论上，“椭球法”在最恶劣的情况下所需要的计算量要比“单形法”增长的缓慢，有希望用之解决超大型线性规划问题。但在实际应用上，Khachiyan的算法令人失望：一般来说，单纯形算法比它更有效率。它的重要性在于鼓励了对内点算法的研究。内点算法是针对单形法的“边界趋近”观念而改采“内部逼近”的路线，相对于只沿着可行域的边沿进行移动的单纯形算法，内点算法能够在可行域内移动。

1984年，贝尔实验室印度裔数学家卡马卡（Narendra Karmarkar）提出了投影尺度法（又名Karmarkar's algorithm）。这是第一个在理论上和实际上都表现良好的算法：它的最坏情况仅为多项式时间，且在实际问题中它比单纯形算法有显著的效率提升。自此之后，很多内点算法被提出来并进行分析。一个常见的内点算法为Mehrotra predictor-corrector method。尽管在理论上对它所知甚少，在实际应用中它却表现出色。

单形法沿着边界由一个顶点移动到“相邻”的顶点，内点算法每一步的移动考量较周详，“跨过可行解集合的内部”去逼近最佳解。当今的观点是：对于线性规划的日常应用问题而言，如果算法的实现良好，基于单纯形法和内点法的算法之间的效率没有太大差别，只有在超大型线性规划中，顶点几成天文数字，内点法有机会领先单形法。

线性规划的求解程式在各种各样的工业最优化问题里被广泛使用，例如运输网络的流量的最优化问题，其中很多都可以不太困难地被转换成线性规划问题。

线性规划理论中存在几个尚未解决的问题，这些开放问题的答案将会是数学运算中的根本突破，并且很可能是我们解决大规模线性规划问题的主要进展。

• LP存在强多项式时间算法吗？

• LP存在多项式时间算法以得到一个严格互补解吗"list-dot list-dot-paddingleft">

  LP在实数（单位成本）模型下存在多项式时间算法吗"para" label-module="para">

  这些问题已经由斯蒂芬·斯梅尔在二十一世纪十八个尚未解决的最伟大的问题中应用。用斯梅尔的话来说，“第三个问题是线性规划理论中最主要的尚未解决的问题”。然而，对于线性规划问题存在弱多项式时间算法，比如椭球算法和内点算法，尚未发现限制在约束条件个数和变量个数的强多项式时间算法，此算法的发展将会带来理论上重大意义，或者是解决大规模线性规划上的实际收益。

  线性规划问题整数规划

  要求所有的未知量都为整数的线性规划问题叫做整数规划（integer programming, IP）或整数线性规划（integer linear programming, ILP）问题。相对于即使在最坏情况下也能有效率地解出的线性规划问题，整数规划问题的最坏情况是不确定的，在某些实际情况中（有约束变量的那些）为NP困难问题。

  0-1整数规划是整数规划的特殊情况，所有的变量都要是0或1（而非任意整数）。这类问题亦被分类为NP困难问题 。

  只要求当中某几个未知数为整数的线性规划问题叫做混合整数规划（mixed integer programming, MIP）问题。这类问题通常亦被分类为NP困难问题。

  存在着几类IP和MIP的子问题，它们可以被有效率地解出，最值得注意的一类是具有完全单位模约束矩阵，和约束条件的右边全为整数的一类。

  一个解决大型整数线性规划问题的先进算法为delayed column generation。2100433B

《UML统一建模教程与实验指导》是一本关于UML统一建模的实用教程，深入浅出、循序渐进地介绍了软件建模的概念、规范和方法。《UML统一建模教程与实验指导》共有3大部分，第一部分是理论篇，着重于介绍面向对象、UML建模语言的一些基本理论，详尽介绍了UML中类图、对象图、用例图、包图、序列图、协作图、活动图、状态图、构件图和部署图的概念；第二部分是绘图篇，着重于介绍如何使用Rational Rose建模工具来创建理论篇中的各种视图和图；第三部分是实战案例篇，通过一个综合实例对使用Rational Rose进行UML建模的全过程进行了详解的分析。此外，各章后配有适量的练习题和上机题，以加深读者的理解。

设施选址问题是经典的NP-难解问题之一，在运筹学、计算机科学和管理科学中有着广泛的应用。徐大川等编著的《设施选址问题的近似算法》介绍了设施选址问题及其变形的近似算法。主要内容包括：无容量限制的设施选址问题的线性规划舍入算法、无容量限制的设施选址问题的原始对偶算法、无容量限制的设施选址问题的局部搜索算法、有容量限制的设施选址问题、k层设施选址问题、凹设施选址问题、不确定设施选址问题、设施选址问题的其他变形等。

《设施选址问题的近似算法》可作为运筹学、计算机科学、管理科学和应用数学专业的高年级本科生和研究生的教材和参考书，亦可供相关研究领域科研人员参考。