图为高倍率放大的光栅刻槽面形状﹐光栅色散可用方程m =C (sini +sinϕ )描述﹐式中i 为入射角﹐ϕ取正值﹐ 为衍射角。当衍射光与入射光在光栅法线同一侧i为正﹐反之为负﹔C 为光栅常数﹐为一个整数。当入射角i 给定时﹐对于满足光栅方程的每个m 值﹐都有相应的级光谱﹐每个波长的光能量分散在诸光谱级中。现代刻制光栅的技术﹐能使所有衍射光栅具有严格规定的形状和尺寸。选择适当入射角﹐可使所需的波长及其邻近波段的绝大部分(达70%)的光能量集中到预定的光谱级中。这种集中光能量的性质称为"闪耀"。起衍射作用的刻线槽面与光栅面的夹角β﹐称为闪耀角。具有这种性质的光栅称为闪耀光栅或定向光栅。另一方面﹐满足=……的不同光谱级次的谱线﹐在焦面上重叠。同所需谱线重叠的其他谱线﹐一般用有色玻璃隔去。光栅角色散﹐理论分辨本领R =λ /δλ =mN 。此处δλ 为可分辨的最小光谱单元宽度﹐N 为刻线总数。

相关公式:d·sinθ= n·λ

其中d为为两狭缝之间的间距,θ为衍射角度，n为光栅级数，λ为波长。

通常所讲的衍射光栅是基于夫琅禾费多缝衍射效应工作的。描述光栅结构与光的入射角和衍射角之间关系的公式叫"光栅方程"。

波在传播时，波阵面上的每个点都可以被认为是一个单独的次波源;这些次波源再发出球面次波，则以后某一时刻的波阵面，就是该时刻这些球面次波的包迹面(惠更斯原理)。 一个理想的衍射光栅可以认为由一组等间距的无限长无限窄狭缝组成，狭缝之间的间距为d，称为光栅常数。当波长为λ的平面波垂直入射于光栅时，每条狭缝上的点都扮演了次波源的角色;从这些次波源发出的光线沿所有方向传播(即球面波)。由于狭缝为无限长，可以只考虑与狭缝垂直的平面上的情况，即把狭缝简化为该平面上的一排点。则在该平面上沿某一特定方向的光场是由从每条狭缝出射的光相干叠加而成的。在发生干涉时，由于从每条狭缝出射的光的在干涉点的相位都不同，它们之间会部分或全部抵消。然而，当从相邻两条狭缝出射的光线到达干涉点的光程差是光的波长的整数倍时，两束光线相位相同，就会发生干涉加强现象。以公式来描述，当衍射角θm满足关系dsinθm/λ=|m|时发生干涉加强现象，这里d为狭缝间距，即光栅常数，m是一个整数，取值为0，±1，±2，……。这种干涉加强点称为衍射极大。因此，衍射光将在衍射角为θm时取得极大，即:

上式即为光栅方程。当平面波以入射角θi入射时，光栅方程写为

d(sinθm+sinθi)=mλ(m=1,2,3,4.....)

衍射光栅，通常简称为"光栅"，一种由密集﹑等间距平行刻线构成的非常重要的光学器件。它利用多缝衍射和干涉作用﹐将射到光栅上的光束按波长的不同进行色散﹐再经成像镜聚焦而形成光谱。天文仪器中应用较多的是反射光栅﹐它的基底是低膨胀系数的玻璃或熔石英﹐上面镀铝﹐然后把平行线刻在铝膜上。

衍射光栅的精度要求极高﹐很难制造﹐但其性能稳定﹐分辨率高﹐ 角色散高而且随波长的变化小﹐所以在各种光谱仪器中得到广泛应用。天文光学仪器应用的光栅主要有﹕平面反射光栅﹕刻线密度一般每毫米300~1﹐500线﹐最常用的是每毫米600线﹐光谱级m ≦5。折轴恒星摄谱仪要求尽可能高的聚光能力﹐光栅面积愈大愈好﹐在低光谱级次工作。而太阳摄谱仪要求高色散和高分辨率﹐使用较高的光谱级次。目前使用有效的光栅刻线面的宽度在200~300毫米﹐最大可达600毫米。中阶梯光栅﹕是刻线密度较低的平面反射光栅﹐最常用的刻线密度是每毫米79线﹐具有较好的定向性能﹐闪耀角通常取为63°26′﹐工作于高光谱级次(m ≒40)。利用色散方向与它垂直的平面光栅分开重叠级次﹐可以得到二维结构的光谱图﹐应用到像管摄谱仪十分有利。由于中阶梯光栅的角色散是平面光栅的二倍或更多﹐因此使用它的摄谱仪结构紧凑。透射光栅﹕用作物端光栅。如将透射光栅刻制在棱镜斜面上﹐即成非物端光栅﹐多用于大望远镜。

根据形成莫尔条纹原理的不同，激光可分为几何光栅(幅值光栅)和衍射光栅(相位光栅)，又可根据光路的不同分为透射光栅和反射光栅。微米级和亚微米级的光栅测量是采用几何光栅，光栅栅距为100μm至20μm，远大于光源光波波长，衍射现象可以忽略，当两块光栅相对移动时产生低频拍现象形成莫尔条纹，其测量原理称影像原理。纳米级的光栅测量是采用衍射光栅，光栅栅距为8μm或4μm，栅线的宽度与光的波长很接近，则产生衍射和干涉现象形成莫尔条纹，其测量原理称干涉原理。现将德国Heidenhain公司产品采用的三种测量原理加以介绍。

(1)具有四场扫描的影像测量原理(透射法)

采用垂直入射光学系统均为4相信号系统，是将指示光栅(扫描掩膜)开四个窗口分为4相，每相栅线依次错位1/4栅距，在接收的4个光电元件上可得到理想的4相信号，这称为具有四场扫描的影像测量原理。Heidenhain的LS系列产品均采用此原理，其栅距为20μm，测量步距为0.5μm，准确度为±10、±5、±3μm三种，最大测量长度为3m，载体为玻璃。

(2)有准单场扫描的影像测量原理(反射法)

反射标尺光栅是采用40μm栅距的钢带，指示光栅(扫描掩膜)用两个相互交错并有不同衍射性能的相位光栅组成，为此，一个扫描场就可以产生相移为1/4栅距的四个图象，称此原理为准单场扫描的影像测量原理。由于只用一个扫描场，标尺光栅局部的污染使光场强度的变化是均匀的，并对四个光电接收元件的影响是相同的，因此不会影响光栅信号的质量。与此同时，指示光栅和标尺光栅的间隙和间隙方差能大一些。Heidenhain LB和LIDA系列的金属反射光栅就是采用这一原理。LIDA系列开式光栅，其栅距为40μm和20μm，测量步距为0.1μm，准确度有±5μm、±3μm，测量长度可达30m，最大速度为480m/min。LB系列闭式光栅栅距都是40μm，最大速度可达120m/min。

(3)单场扫描的干涉测量原理

对于栅距很小的光栅，指示光栅是一个透明的相位光栅，标尺光栅是自身反射的相位光栅，光束是通过双光栅的衍射，在每一级的诸光束相互干涉，就形成了莫尔条纹，其中+1和-1级组干涉条纹是基波条纹，基波条纹变化的周期与光栅的栅距是同步对应的。光调制产生3个相位差120°的测量信号，由三个光电元件接收，随后又转换成通用的相位差90°的正弦信号。Heidenhain LF、LIP、LIF系列光栅尺是按干涉原理工作，其光栅尺的载体有钢板、钢带、玻璃和玻璃陶瓷，这些系列产品都是亚微米和钠米级的，其中最小分辨率达到1纳米。

在20世纪80年代后期，栅距为10μm的透射光栅LID351(分辨率为0.05μm)，其间隙要求就比较严格(0.1±0.015)mm。由于采用了新的干涉测量原理，对纳米级的衍射光栅安装公差就放得比较宽，例如指示光栅和标尺光栅之间的间隙和平行度都很宽(见表1)。

表1 指示光栅和标尺光栅之间的间隙和平行度

光栅型号－信号周期(μm)－分辨率(nm)－间隙(mm)－平行度(mm)

LIP372－0.218－1－0.3－±0.02

LIP471－2－5－0.6－±0.02

LIP571－4－50－0.5－±0.06

只有衍射光栅LIP372的栅距是0.512μm，经光学倍频后，信号周期为0.128μm,其它栅距均为8μm和4μm，经光学二倍频后得到的信号周期为4μm和2μm，其分辨率为5nm和50nm，系统准确度为±0.5μm和±1μm，速度为30m/min。LIF系列栅距是8μm,分辨率0.1μm,准确度±1μm，速度为72m/min。其载体为温度系数近于零的玻璃陶瓷或温度系数为8ppm/K的玻璃。衍射光栅LF系列是闭式光栅尺，其栅距为8μm,信号周期为4μm，测量分辨率0.1μm,系统准确度±3μm和±2μm，最大速度60m/min，测量长度达3m,载体采用钢尺和钢膨胀系数(10ppm/K)一样的玻璃。

光栅测量系统的几个关键问题

(1)测量准确度(精度)

光栅线位移传感器的测量准确度，首先取决于标尺光栅刻线划分度的质量和指示光栅扫描的质量(栅线边沿清晰至关重要)，其次才是信号处理电路的质量和指示光栅沿标尺光栅导向的误差。影响光栅尺测量准确度的是在光栅整个测量长度上的位置偏差和光栅一个信号周期内的位置偏差。

光栅尺的准确度(精度)用准确度等级表示，Heidenhain定义为：在任意1m测量长度区段内建立在平均值基础上的位置偏差的最大值Fmax均落在±a(μm)之内，则±a为准确度等级。Heidenhain准确度等级划分为：±0.1、±0.2、±0.5、±1、±2、±3、±5、±10和±15μm。由此可见，Heidenhain光栅尺的准确度等级和测量长度无关，这是很高的一个要求，目前还没有一家厂商能够达到这一水平。

现在Heidenhain玻璃透射光栅和金属反射光栅的栅距只采用20μm和40μm，对衍射光栅栅距采用4μm和8μm，光学二倍频后信号周期为2μm和4μm。Heidenhain要求开式光栅一个信号周期的位置偏差仅为±1%，闭式光栅仅为±2%，光栅信号周期及位置偏差见表2。

表2 光栅信号周期及位置偏差

光栅类别－信号周期(μm)－一个信号周期内的位置偏差(μm)

几何光栅－20和40－开启式光栅尺±1%，即±0.2～±0.4；封闭式光栅尺±2%，即±0.4～±0.8

衍射光栅－2和4－开启式光栅尺±1%，即±0.02～±0.04；封闭式光栅尺±2%，即±0.02～±0.08

(2)信号的处理及栅距的细分

光栅的测量是将一个周期内的绝对式测量和周期外的增量式测量结合在一起，也就是说在栅距一个周期内将栅距细分后进行绝对的测量，超过周期的量程则用连续的增量式测量。为了保证测量的精度，除了对光栅的刻划质量和运动精度有要求外，还必须对光栅的莫尔条纹信号的质量有一定的要求，因为这影响电子细分的精度，也就是影响光栅测量信号的细分数(倍频数)和测量分辨率(测量步距)。栅距的细分数和准确性也影响光栅测量系统的准确度和测量步距。对莫尔条纹信号质量的要求主要是信号的正弦性和正交性要好；信号直流电平漂移要小。对读数头中的光电转换电路和后续的数字化插补电路要求频率特性好，才能保证测量速度高。

Heidenhain公司专门为光栅传感器和crc相联结设计了光栅倍频器，即将光栅传感器输出的正弦信号(一个周期是一个栅距)进行插补和数字化处理后给出相位相差90°的方波，其细分数(倍频数)有5、10、25、50、100、200和400，再考虑到数控系统的4倍频后对栅距的细分数有20、40、100、200、400、800和1600，能实现测量步距从1nm到5μm,倍频数选择取决于光栅信号一个栅距周期的质量。随着倍频数的增加，光栅传感器的输出频率要下降，倍频器的倍频细分数和输入频率的关系见表3。

表3 倍频器的倍频细分和输入频率

倍频细分数：0－2－10－25－50－100－200－400

输入频率（KHz）：600－500－200－100－50－25－12.5－6.25

选择不同的倍频数可以得到不同的测量步距。在Heidenhain的数显表中可以设置15种之多的倍频数，最高频数可达1024，即1，2，4，5，10，20，40，50，64，80，100，128，200，400，1024。在微机上用的数显卡最大倍频数可到4096。

(3)光栅的参数标记和绝对坐标

①光栅绝对位置的确立

光栅是增量测量，光栅尺的绝对位置是利用参考标记(零位)确定。参考标记信号的宽度和光栅一个栅距的信号周期一致，经后续电路处理后参考信号的脉冲宽度和系统一个测量步距一致。为了缩短回零位的距离，Heidenhain公司设计了在测量全长内按距离编码的参考标记，每当经过两个参考标记后就可以确定光栅尺的绝对位置，如栅距为4μm和20μm的光栅尺扫描单元相对于标尺的移动20mm后就可确定绝对位置，栅距为40μm的光栅尺要移动80mm才能确定绝对位置。

②绝对坐标传感器

为了在任何时刻测量到绝对位置，Heidenhain设计制造了LC系列绝对光栅尺，它是用七个增量码道得到绝对位置，每个码道是不同的，刻线最细码道的栅距有两种，一种是16μm，另一种是20μm，其分辨率都可为0.1μm，准确度±3μm，测量长度可达3m，最大速度120m/min。它所采用的光电扫描原理和常用的透射光栅一样，是具有四场扫描的影像测量原理。

(4)光栅的载体

光栅尺在20°±0.1℃环境中制造，光栅尺的热性能直接影响到测量精度，在使用上光栅尺的热性能最好和被测件的热性能一致。考虑到不同的使用环境，Heidenhain光栅尺刻度的载体具有不同的热膨胀系数。现有的材料有玻璃、钢和零膨胀的玻璃陶瓷。普通玻璃的膨胀系数为8ppm/K，现在Heidenhain已采用了具有钢一样膨胀系数的玻璃。这些材料对振动、冲击不敏感，具有确定的热特性，不受气压和湿度变化的影响。对测量长度在3m以下的光栅尺载体材料都采用玻璃、玻璃陶瓷和钢，超过3m以上则用钢带。通过对标尺载体所用材料和相应结构的选择，使光栅尺与被测件的热性能有最佳的匹配。