18 1.4极限运算的法则 定理 1.11（极限的四则运算法则）若 0 0 lim , lim x x x x f x a g x b，则 （ⅰ） 0 0 0 lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x a b； （ⅱ） 0 0 0 lim lim lim x x x x x x f x g x f x g x ab； （ⅲ） 0 0 0 lim lim 0 . lim x x x x x x f xf x a b g x g x b 证 只证（ⅰ）、（ⅱ） . （ⅰ） 0,因 0 lim x x f x a，故对正数 2 ，存在相应的正数 1使得，当 0 10 x x 时，有 . 2 f x a （ 1） 因 0 lim x x g x b，则对正数 2 ，存在相应的正数 2使得，当 0 20 x x 时，有 . 2 g x b （2） 取 1 2m

§1.5 极限运算法则 课 题：§ 1.5 极限运算法则 教学内容 ：极限运算法则 教学目的 ：通过学习，使学生会应用极限运算法则进行计算 教学重点 ：应用极限运算法则进行计算 教学难点 ：应用极限运算法则（除法）进行计算 教学过程 ： 注意无穷小性质与无穷大性质的比较对比，极限运算法则成立的条件。 定理 1 有限个无穷小的和也是无穷小 例如 当 x 0 时 x与 sin x都是无穷小 x sin x也是无穷小 简要证明 设 及 是当 x x0 时的两个无穷小 则 0 1 0 及 2 0 使当 0 |x x0| 1 时 有| | 当 0 |x x0| 2时 有 | | 取 min{ 1 2} 则当 0 |x x0 | 时 有 | | | | | | 2 这说明 也是无穷小 证明 考虑两个无穷小的和 设 及 是当 x x0时的两个无穷小 而 任意 给定 的 0 因为 是当 x x0 时的无