例1 (1)考虑无限循环群 在 上的如下作用：
容易验证，其轨道空间 。
(2) 设n≥2，考虑正交群 ，在线性代数中我们已经知道，每个 都确定了 中的一个线性变换 ，这个线性变换保持欧氏度量。特别地，把单位向量映射为单位向量。因此每个 诱导了 的一个自同胚。并且容易看出，映射
是连续的。因此， 如同一个同胚群作用于球面 上。由Schmidt正交化方法不难看出，这个作用还是可迁的，因此轨道空间 只有一个点。
(3) 考虑群 在平面 上的作用： ，定义一个同胚
容易验证，上述对应确实给出了 在平面 上的一个作用。由(1)可知，其轨道空间是两个圆周的积空间。而且不难看出，平面上每个边长为1的正方形都包含了每个轨道中的点，并且正方形的对边在轨道空间中显然被同向地粘合在了一起，因此又有。
(4)考虑剩余类群在n-维球面上的作用：不妨记，其中0为单位元，而1为生成元。定义两个同胚；
就是恒等同胚，就是对径映射，也是同胚。则不难验证，上述定义给出了在n-维球面上的一个作用，其轨道空间正是粘合的对径点而得到的n-维射影平面。
(5) 设p，q是两个互质的整数，把3-维球面看做2-维复空间内的单位球面，即
设的生成元为，定义在上的作用如下：
(几次复合)．
则不难验证，这确实给出了一个群作用，其轨道空问称为透镜空间，记为。
定理 如G一个同胚群而作用于单连通空间X，并且对于每个点，都存在使得，则。
利用这个定理，我们也可以得到下面几个结论
例2 由于及都是单连通的，因此由例1可知 ，
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