由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法:

1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。

证明:若 ， 则有

∴λ>0

反之，必存在U使

即

有

这就证明了A正定。

由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是:A的特征值全部非负。

2.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。

证明:A正定

二次型 正定

A的正惯性指数为n

3.n阶对称矩阵A正定(半正定)的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵U使 ;进一步有 (B为正定(半正定)矩阵)。

证明:n阶对称矩阵A正定，则存在可逆矩阵U使

令 则

令 则

反之，

∴A正定。

同理可证A为半正定时的情况。

4.n阶对称矩阵A正定，则A的主对角线元素 。

证明:(1)∵n阶对称矩阵A正定

∴ 是正定二次型

现取一组不全为0 的数0,…,0,1,0…0(其中第I个数为1)代入，有

∴

∴A正定

∴存在可逆矩阵C ，使

5.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是:A的 n 个顺序主子式全大于零。

证明:必要性:

设二次型 是正定的

对每个k,k=1,2,…,n,令

，

现证 是一个k元二次型。

∵对任意k个不全为零的实数 ，有

∴ 是正定的

∴ 的矩阵

是正定矩阵

即

即A的顺序主子式全大于零。

充分性:

对n作数学归纳法

当n=1时，

∵ ， 显然 是正定的。

假设对n-1元实二次型结论成立，现在证明n元的情形。

令 ， ，

∴A可分块写成

∵A的顺序主子式全大于零

∴ 的顺序主子式也全大于零

由归纳假设， 是正定矩阵即，存在n-1阶可逆矩阵Q使

令

∴

再令 ，

有

令 ，

就有

两边取行列式，则

由条件 得a>0

显然

即A合同于E ，

∴A是正定的。

1.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n。

2.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。

3.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式 满足。

即奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零。

由于A是负定的当且仅当-A是正定的，所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出，故证明略。

1.n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩。

2.n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。

3.n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零，但至少有一个主子式等于零。

注:3中指的是主子式而不是顺序主子式，实际上，只有顺序主子式大于等于零并不能保证A是半正定的，例如:

矩阵 的顺序主子式 ，但A并不是半正定的。

首先，看这个矩阵是不是方阵(即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等，那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵)。 然后，再看此矩阵的行列式|A|是否等于0，若等于0，称矩阵A为奇异矩阵;若不等于0，称矩阵A为非奇异矩阵。 同时，由|A|≠0可知矩阵A可逆，这样可以得出另外一个重要结论:可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。 如果A为奇异矩阵，则AX=0有无穷解，AX=b有无穷解或者无解。如果A为非奇异矩阵，则AX=0有且只有唯一零解，AX=b有唯一解。

非奇异矩阵还可以表示为若干个初等矩阵的乘积，证明中往往会被用到。

如果A(n×n)为奇异矩阵(singular matrix)<=> A的秩Rank(A)<n.

如果A(n×n)为非奇异矩阵(nonsingular matrix)<=> A满秩，Rank(A)=n.

Eviews软件中当样本容量太少或是当变量间存在完全相关性时会提示"near singular matrix"，意为"近奇异矩阵"。计量经济学范畴

在信号处理中，当信号协方差矩阵不是奇异矩阵时，则信号不相关或者部分相关。

一个方阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。

一个方阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

一个矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。