等价命题1:若A是幂等矩阵，则与A相似的任意矩阵是幂等矩阵;

等价命题2:若A是幂等矩阵，则A的AH,AT,A*，E-AH，E-AT都是幂等矩阵;

等价命题3:若A是幂等矩阵，则对于任意可逆阵T,T^(-1)·A·T也为幂等矩阵;

等价命题4:若A是幂等矩阵，A的k次幂仍是幂等矩阵

(由于数学符号编辑问题，更多等价命题及其证明见扩展阅读1)

由于幂等矩阵所具有的良好性质及其对向量空间的划分，幂等矩阵在可对角化矩阵的分解中具有重要的作用，同时也为空间的投影过程提供了一种工具。

符号说明如下:

AT为矩阵A的转置矩阵;

AH矩阵A的共轭转置矩阵;

A*为矩阵A的伴随矩阵;

E为单位矩阵

幂等矩阵的主要性质:

1.幂等矩阵的特征值只可能是0，1;

2.幂等矩阵可对角化;

3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr(A)=rank(A);

4.可逆的幂等矩阵为E;

5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵;

6.幂等矩阵A满足:A(E-A)=(E-A)A=0;

7.幂等矩阵A:Ax=x的充要条件是x∈R(A);

8.A的核N(A)等于(E-A)的列空间R(E-A),且N(E-A)=R(A)。 考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求，可以给出幂等矩阵的运算:

1)设 A1，A2都是幂等矩阵，则(A1+A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为:A1·A2 =A2·A1 = 0，

且有:R(A1+A2) =R (A1) ⊕R (A2);N(A1+A2) =N (A1)∩N(A2);

2)设 A1， A2都是幂等矩阵，则(A1-A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为:A1·A2 =A2·A1=A2

且有:R(A1-A2) =R(A1)∩N (A2 );N (A1 - A2 ) =N (A1 )⊕R (A2 );

3)设 A1，A2都是幂等矩阵，若A1·A2 =A2·A1，则A1·A2 为幂等矩阵， 且有:R (A1·A2 ) =R (A1 ) ∩R (A2 );N (A

1·A2 ) =N (A1 ) +N (A2 )。