已知正方形ABCD边长为4，PC⊥平面ABCD，PC=2，E，F分别为AB，AD中点。求：点B到平面PEF的距离。
解:
空间距离法一：等积转化法
设B点到平面PEF的距离为h，连结BF，则¡SΔPEF¡h=V三棱锥B-PEF，
连结CE，CF，在RtΔCBE中，BC=4，BE=2，
∴ CE2=20，又在RtΔPCE中，PC=2，
∴ PE=2，同理可求得PF=2，又可求得EF=2，
∴ 可求得SΔPEF=2，
又：V三棱锥B-PEF=V三棱锥P-BEF，已知PC⊥平面BEF，
∴ ¡2¡h=¡SΔBEF¡PC，
∴ h=。
空间距离法二：转化为线面——其它点面距离
连结BD， ∵ E、F分别为AB，AD中点，
∴ EF//BD，
∴ B点到平面PEF的距离即直线BD到平面PEF的距离，即直线BD上任一点到平面PEF距离，
连结AC交EF于G，交BD于O，连结PG，
∵ BD⊥AC，∴ EF⊥AC，又 PC⊥EF，
∴ EF⊥平面PGC，∴ 平面PEF⊥平面PCG，
过O点作OK⊥PG于K，则OK⊥平面PEF，
即线段OK的长即为点O到平面PEF的距离，
由ΔOKG∽ΔPCG，在ΔPCG中可求得PG=，PC=2，
在ΔOGK中，OG=AC=，∴ OK=¡OG=。
空间距离法三：用概念直接作
延长FE交CB延长线于H，连结PH，过B作BM//PC交PH于M，过B作BN⊥EH于N，连结MN，过B作BQ⊥MN于Q点，
∵ PC⊥平面ABCD，∴BM⊥平面ABCD，
∴ MB⊥EH，∴EH⊥平面BNM，
∴ 平面BMN⊥平面PEH，
∴ BQ⊥平面PEH，即线段BQ的长即为点B到平面PEF的距离，
∵ E为AB中点，即正方形ABCD，∴ BH=BE=2， EH=2，
∴ BN=，由，∴ BM=，
在RtΔBMN中，BQ=。
评注：此题仍用了例2所用的三种思维方法。这都是求距离所用的常用方法。比较概括一下，等积法最容易，转化法是最常用的思路，直接法往往较难，寻求垂线段时往往需借助图形隐含的性质和作辅助的垂面来实现，每种方法都能从不同侧面帮助我们提高空间思维能力，在复习时都应运用领会。
空间距离法二：转化为面面距离来作
连结A1B，A1C1， ∵ 正方体A-C1，
∴ 平面ACD1//平面A1C1B，
∴ BC1到平面ACD1的距离即平面ACD1到平面A1C1B的距离。
连结B1D，设B1D交平面A1C1B于O1，交平面ACD1于O2，
∵ 正方体AC1，∴ B1D⊥平面A1C1B， B1D⊥平面ACD1，
∴ 线段O1O2的长即为平面ACD1与平面A1C1B的距离，作A1C1中点M，连结BM，
∵ B1MD1DB共面，∴ B，O1，M共线（公理2）
在RtΔBB1M中，B1O1=，
同法可求得DO2=，
∴ O1O2=B1D-DO2-B1O1=。
评注：10计算过程中必要的证明必不可少，如此处B，O1，M共线的证明。
20 当确认要计算的线段后，转化和寻求三角形应同时进行，如此处O1O2较难直接计算，转化为O1O2=B1D-B1O1-DO2，B1O1置于RtΔBB1M中。
空间距离法三：利用等积计算布列方程
设点B到平面ACD1的距离为h，则¡h,
∵ 正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，
∴ DD1⊥平面ABC，ΔAD1C为正三角形，边长为。
又∵ =¡SΔABC¡DD1=，
∴ ¡h=¡1，∴ h=。
评注：解决点面距离的通法——等积法，用此法要注意灵活选择三棱锥，变换视角，以及规范表述。2100433B
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