亦称布劳威尔度或拓扑度。对一类连续映射的一种刻画。对n维球面S到自身的每一连续映射联系一个整数。设f：S→S(n≥1)是连续映射，(K，φ)是S的一个剖分，同调群H_n(S)Z，这里Z表示整数加群，以[z]记同调群H_n(K)的生成元，若：

f~=φ°f°φ： |K|→|K|，

则有整数m使得f~的诱导同态f~_n*([z])=m[z]，这个m称为f的布劳威尔度，记为deg f.映射度deg f与S的剖分(K，φ)和H_n(K)的生成元的选取无关.根据诱导同态的性质，可得到下述结论：若f，g：S→S都是连续映射，则：

1.若fg，则deg f=deg g.

2.deg(f°g)=deg f°deg g.

3.对于S上的恒同映射1_s，有deg 1_s=1，对于常值映射c：S→S，有deg c=0.

根据以上性质，可以定义对应

deg_#： [S，S]→Z，

使得对于f所属同伦类[f]规定

deg_#([f])=deg f.

根据霍普夫(Hopf，H.)的度数定理，deg_#是一一对应。它表明S到自身的连续映射从同伦观点看由其映射度惟一决定.映射度理论应用广泛，如研究球面上向量场以及博苏克-乌拉姆定理等。关于映射度还可推广到能定向闭假流形以及其他领域中去。讨论n维球面S到自身连续映射的同伦类构成的集合[S，S]，是映射的同伦分类问题中最基本的内容，并且很多几何问题的解决都有赖于对这个集合性质的了解。研究这个集合结构的一种方法，就是对每个连续映射f：S→S联系一个整数，即所谓映射度，它是由布劳威尔(Brouwer，L.E.J.)首先提出的。

亦称函数。数学的基本概念之一。也是一种特殊的关系。设G是从X到Y的关系，G的定义域D(G)为X，且对任何x∈X都有惟一的y∈Y满足G(x，y)，则称G为从X到Y的映射.即关系G为映射时，应满足下列两个条件：

1.(x∈X)(y∈Y)(xGy).

2.(x∈X)(y∈Y)(z∈Y)((xGy∧xGz)→y=z).这个被x∈X所惟一确定的y∈Y，通常表示为y=f(x)(x∈X).f(x)满足：

1) f(x)∈Y.

2) G(x，f(x))成立(x∈X).

3)z∈Y，G(x，z)→z=f(x).

关系G常使用另一些记号：f：X→Y或XY.f与G的关系是y=f(x)(x∈X)，当且仅当G(x，y)成立.可取变域X中的不同元素为值的变元称为自变元或自变量。同样可取变域Y中的不同元素为值的变元称为因变元或因变量。始集X称为映射f的定义域。记为D(f)或dom(f).终集Y称为映射的陪域，记为C(f)或codom(f).Y中与X中的元素有关系G的元素的组合{y|x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}称为映射的值域，记为R(f)或ran(f).当y=f(x)时，y称为x的象，而x称为y的原象。y的所有原象所成之集用f(y)表示.对于AX，所有A中元素的象的集合{y|x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}称为A的象.记为f(A)。对于BY，所有B中元素的原象的集合{x|x∈X∧y(y∈B∧y=f(x))}称为B的原象。记为f(B)。显然：f(A)=f(x)，f(B)=f(y)。

线性空间V到自身的映射通常称为V上的一个变换。

同时具有以下定义：

线性空间V上的一个变换A称为线性变换，如果对于V中任意的元素α，β和数域P中任意k，都有

A(α β)=A（α） A（β）

A (kα)=kA(α)

线性代数研究的一个对象，即向量空间到自身的保运算的映射。例如，对任意线性空间V，位似是V上的线性变换，平移则不是V上的线性变换。对线性变换的讨论可借助矩阵实现。σ关于不同基的矩阵是相似的。Kerσ={a∈V|σ（a）=θ}（式中θ指零向量）称为σ的核，Imσ={σ（a）|a∈V}称为σ的象，是刻画σ的两个重要概念。

对于欧几里得空间，若σ关于标准正交基的矩阵是正交（对称）矩阵，则称σ为正交（对称）变换。正交变换具有保内积、保长、保角等性质，对称变换具有性质：〈σ(a)，β〉=〈a，σ（β）〉。

在数学中，线性映射（也叫做线性变换或线性算子）是在两个向量空间之间的函数，它保持向量加法和标量乘法的运算。术语“线性变换”特别常用，尤其是对从向量空间到自身的线性映射(自同态)。

在抽象代数中，线性映射是向量空间的同态，或在给定的域上的向量空间所构成的范畴中的态射。