把一个m×n矩阵的行,列互换得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵,记为A'或AT。 (其中T为上标)

1.(A')'=A

2.(A+B)'=A'+B'

3.(kA)'=kA'(k为实数)

4.(AB)'=B'A'

若矩阵A满足条件A=A',则称A为对称矩阵，由定义知对称矩阵一定是方阵,而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即aij=aji,对任意i,j都成立。

1．对称矩阵

（1）对称矩阵

在一个n阶方阵A中，若元素满足下述性质：

aij=aji0≤i，j≤n-1

则称A为对称矩阵。

（2）对称矩阵的压缩存

对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储空间。这样，能节约近一半的存储空间。

①按"行优先顺序"存储主对角线(包括对角线)以下的元素

即按a00,a10,a11,……，an-1,0,an-1,1…，an-1,n-1次序存放在一个向量sa[0．．n(n+1)／2-1]中（下三角矩阵中，元素总数为n(n+1)／2）。

其中：

sa[0]=a00,

sa[1]=a10,

……，

sa[n(n+1)／2-1]=an-1,n-1

②元素aij的存放位置

aij元素前有i行(从第0行到第i-1行)，一共有：

1+2+…+i=i×(i+1)／2个元素；

在第i行上，aij之前恰有j个元素(即ai0，ail，…，ai,j-1)，因此有：

sa[i×(i+1)／2+j]=aij

③aij和sa[k]之间的对应关系：

若i≥j，k=i×(i+1)／2+j0≤k<n(n+1)／2

若i＜j，k=j×(j+1)／2+i0≤k<n(n+1)／2

令I=max(i，j)，J=min(i，j)，则k和i，j的对应关系可统一为：

k=i×(i+1)／2+j0≤k<n(n+1)／2

（3）对称矩阵的地址计算公式

LOC(aij)=LOC(sa[k])

=LOC(sa[0])+k×d=LOC(sa[0])+[I×(I+1)／2+J]×d

通过下标变换公式，能立即找到矩阵元素aij在其压缩存储表示sa中的对应位置k。因此是随机存取结构。

【例】a21和a12均存储在sa[4]中，这是因为

k=I×(I+1)／2+J=2×(2+1)／2+1=4