孤立波解只存在于非线性色散方程之中，亦即非线性与色散是孤立波存在的必要条件。色散即波的传播速度依赖于波的频率和波长，它导致波包散开，而非线性却导致波阵面卷缩，两者共同作用的结果便形成稳定的波包，即孤立波。

起初人们认为虽然单个孤立波在行进中非常稳定，但在孤立波相互碰撞时，就可被撞得四分五裂，稳定波包将不复存在。但通过计算机对孤立波进行研究的结果表明，两个孤立波相互碰撞后，仍然保持原来的形状不变，并与物质粒子的弹性碰撞一样，遵守动量守恒和能量守恒。孤立波还具有质量特征，甚至在外力作用下其运动还服从牛顿第二定律。因此，完全可以把孤立波当做原子或分子那样的粒子看待，人们将这种具有粒子特性的孤立波称为孤立子，有时又简称为孤子。

孤立子的高度稳定性和粒子性引起了人们对孤立子的极大兴趣。人们还发展了一套研究孤立子的系统方法-反散射方法或逆问题方法。找出了一批非线性方程的普遍解法，并通过计算机实验和解析方法相结合，发现很多非线性偏微分方程都存在孤立子解，这些纯粹数学上的孤立子，很快在流体物理、固体物理、等离子体物理和光学实验中被发现。更令人振奋的是，这些似乎是纯数学的发现，不仅为实验所证实，而且还找到了实际应用。例如光纤通讯中传输信息的低强度光脉冲由于色散变形，不仅信息传输量低、质量差，而且须在线路上每隔一定距离加设波形重复器，花费很大，70年代从理论上首先发现"光学孤子"可以克服这些缺点，并可大大提高信息传输量，目前这一成果已进入实用阶段。

对孤立子的更深入研究发现，孤立子不仅像原子或分子，而且更像基本粒子，这表现在: 1.孤立子不仅具有质量、能量和动量特征，而且还具有电荷特征。 2.孤立子有的像光子、电子、质子那样，稳定而不衰变，有的像中子、πo介子、μ子那样可以衰变，具有衰变性不稳定性。 3.和基本粒子都存在其反粒子一样，孤立子也都存在其相应的反孤立子。 4.对应于运动方程的种种对称性，孤立子也存在相应的守恒定律，如动量守恒、能量守恒和"粒子数"守恒等等。

孤立子原本是波，但却具有粒子的特性，而物质粒子原本是粒子，但却具有波的特性。两者原本风马牛不相及，但却具有共同的属性-"波粒二象性"。人们曾确信，孤立子和物质粒子之间一定存在某种必然联系，并预料孤立子必将在基本粒子研究中起到独特的作用。但是，由于孤立子解只存在于非线性微分方程中，而非线性微分方程没有一般解法,孤立子解很难找到,尤其对于多维孤立子的研究目前还只是刚刚起步，并且对多维孤立子的研究更加困难，人们对基本粒子的了解远多于孤立子，因而，借用孤立子理论还难以对基本粒子作出完备的描述。

但是情况也有例外，人们对于速度低于光速的物质粒子了解甚多，而对速度高于光速的物质粒子-快子却知之甚少。人们通过对狭义相对论的进一步研究发现，速度原本就超过光速的快子的存在并不违背狭义相对论，但到目前人们对快子的特性并不清楚，也不知道为什么不能发现快子。而孤立子理论却得到了快子解，在本书第二章"虚子论"中，我们将借助这种快子解，分析研究快子的基本特性，并说明它们为什么不能被发现。我们还将进一步证明，快子在地球上是普遍存在的，并在人体生命现象中起着极其重要的作用。