1.一个动点到两个定点的距离相等，那么这动点的轨迹是一条直线，就是这两定点连线的垂直平分线.

将这个命题中的两个定点膨胀成两个圆，就得到下列命题:

一个动点到两个圆的幂相等，那么这动点的轨迹是一条直线，就是这个圆的根轴.

2.一个动点到两个定点的距离的平方和等于定值，那么这个动点的轨迹是一个圆.

将这个命题中的两个定点膨胀成两个圆，就得到下列命题:

一个动点到两个圆的幂的和等于定值，那么这个动点的轨迹是一个圆.

3.一个动点到两个定点的比等于定值，那么这个动点的轨迹是一个圆.

将这个命题中的两个定点膨胀成两个圆，就得到下列命题:

一个动点到两个圆的幂的比等于定值，那么这个动点的轨迹是一个圆.

4.三角形的三个角的内外角平分线分别和对边相交，共六个交点，这六个点分别在四条直线上，每条直线 上有两个内分点和一个外分点或三个外分点.

将这个命题中的三角形的三个顶点膨胀成为三个圆，就得到下面定理:

如果三个圆的圆心不在一直线上，那么，每两个圆的顺位似心和逆位似心共六个点在四条直线上，每 条直线上有三点.

这里的四条直线都叫做这三个圆的位似轴

5.三角形中，三条边的垂直平分线交于一点，这个点就是三角形的外心.

在这个命题中，

(Ⅰ).使三角形的一个顶点膨胀成圆，就得到命题:

已知☉A和圆外两点B、C，过B和C分别作☉A的切线BD、BD′、CE、CE′、D、D′、E、E′为切点，设这四条切线的中点为F、F′、G、G′，那么FF′和GG′的交点在BC的垂直平分线上.

(Ⅱ).使三角形的两个顶点膨胀成圆，就得到命题:

已知☉B、☉C及其外一点A，过A作切线AD、AD′、AE、AE′分别切两圆于D、D′、E、E′，设这四条切线的中点为F、F′、G、G′，又设☉B、☉C的两条外公切线的中点为M、M′，那么FF′和GG′的交点在MM′上.

(Ⅲ).使三角形的三个顶点都膨胀成圆，就得到命题:

三个圆中，每两个圆有一条根轴，这三条根轴交于一点，这个点就是这三个圆的根心.

6.△ABC中，MN是边BC的垂直平分线，AQ⊥MN，Q为垂足，那么AB^2-AC^2=2BC●AQ.

当B、C两点膨胀后分别成为圆☉O1和☉O2(半径分别为r1t和r2)后，BC的垂直平分线换成☉O1和☉O2的根轴MN，AB和BC应当换成A点到☉O1和☉O2的切线AB和AC，作AD⊥O1O2，就有AB^2-AC^2=2O1O2●AN.

这就是说:一点关于两圆的幂的差，等于连心线与由此至根轴的距离之积的二倍.这就是著名的casey定理.