凸透镜的成像规律是1/u+1/v=1/f(即:物距的倒数与像距的倒数之和等于焦距的倒数。)一共有两种推导方法 。分别为"几何法"与"函数法"

【题】如右图 ，用几何法证明1/u+1/v=1/f。

【解】∵△ABO∽△A'B'O

∴AB:A'B'=u:v

∵△COF∽△A'B'F

∴CO:A'B'=f:(v-f)

∵四边形ABOC为矩形

∴AB=CO

∴AB:A'B'=f:(v-f)

∴u:v=f:(v-f)

∴u(v-f)=vf

∴uv-uf=vf

∵uvf≠0

∴(uv/uvf)-(uf/uvf)=vf/uvf

∴1/f-1/v=1/u

即:1/u+1/v=1/f

【题】 如右图 ，用函数法证明1/u+1/v=1/f。

【解】一基础

右图为凸透镜成像示意图。

其中c为成像的物体长度，d为物体成的像的长度。u为物距，v为像距，f为焦距。

步骤

(一)为便于用函数法解决此问题，将凸透镜的主光轴与平面直角坐标系的横坐标轴(x轴)关联(即重合)，将凸透镜的理想折射面与纵坐标轴(y轴)关联，将凸透镜的光心与坐标原点关联。则:点A的坐标为(-u,c)，点F的坐标为(f,0)，点A'的坐标为(v,-d)，点C的坐标为(0，c)。

(二)将AA'，A'C双向延长为直线l1、l2，视作两条函数图象。由图象可知:直线l1为正比例函数图象，直线l2为一次函数图象。

(三)设直线l1的解析式为y=k1x,直线l2的解析式为y=k2x+b

依题意，将A(-u,c),C(0,c),F(f,0)代入相应解析式得方程组:

c=-u·k1

c=b

k2f+b=0

把k1,k2当成未知数解之得:

k1=-(c/u)

k2=-(c/f)

∴两函数解析式为:

y=-(c/u)x

y=-(c/f)x+c

∴两函数交点A'的坐标(x,y)符合方程组

y=-(c/u)x

y=-(c/f)x+c

∵A'(v,-d)

∴代入得:

-d=-(c/u)v

-d=-(c/f)v+c

∴-(c/u)v=-(c/f)v+c

(c/u)v=(c/f)v-c

cv/u=(cv/f)-c

fcv=ucv-ucf

fv=uv-uf

∵uvf≠0

∴fv/uvf=(uv/uvf)-(uf/uvf)

∴1/u=1/f-1/v

即:1/u+1/v=1/f