已知:如图直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线

求证:PA·PB=PC·PD

证明:连接AD、BC∵∠A和∠C都对弧BD

∴由圆周角定理，得 ∠DAP=∠BCP

又∵∠P=∠P

∴△ADP∽△CBP (如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。)

∴AP:CP=DP:BP

即AP·BP=CP·DP

既然圆内接四边形定理可以从割线定理而得，那么或许割线定理就可以从圆内接四边形定理而得。

如图所示。

已知:从圆O外一点P引两条圆的割线，一条交圆于A、B，另一条交圆于C、D

求证:AP·BP=CP·DP

证明:连接AC、BD

由圆内接四边形定理得

∠ABD+∠DCA=∠CAB+∠BDC=180°

又∵∠ACP+∠DCA=∠DCP=180°，∠CAP+∠CAB=∠BAP=180°(平角的定义)

∴∠ABD=∠ACP，∠BDC=∠CAP(同角的补角相等)

∴△ACP∽△DBP(两角对应相等的三角形相似)

∴AP/DP=CP/BP(相似三角形对应边成比例)

∴AP·BP=CP·DP(比例基本性质)

根据切割线定理求证。

已知:从圆O外一点P引两条圆的割线，一条交圆于A、B，另一条交圆于C、D

求证:AP·BP=CP·DP

过点P作圆O的切线，记切点为T

由切割线定理可知:AP·BP=PT²，CP·DP=PT²

∴AP·BP=CP·DP