电机工程学和电子工程学

在电机工程学和电子工程学里，欧姆定律妙用无穷，因为它能够在宏观层次表达电压与电流之间的关系，即电路元件两端的电压与通过的电流之间的关系。

物理学

在物理学里，对于物质的微观层次电性质研究，会使用到的欧姆定律，以矢量方程表达为

在导体内任意两点g、h，定义电压为将单位电荷从点g移动到点h，电场力所需做的机械功：

其中，Vgh是电压，w是机械功，q是电荷量，dL 是微小线元素。

假设，沿着积分路径，电流密度J=jI为均匀电流密度，并且平行于微小线元素：

dL=dlI；其中，I是积分路径的单位矢量。

那么，可以得到电压：

Vgh=Jρl；其中，l是积分路径的径长。

假设导体具有均匀的电阻率，则通过导体的电流密度也是均匀的：

J=I/a；(黑体字部分为矢量（台湾称做向量）其中，a是导体的截面面积。

电压Vgh简写为V。电压与电流成正比：

V=Vgh=Iρl/a。总结，电阻与电阻率的关系为

R= ρl/a。假设J> 0 ，则V> 0 ；将单位电荷从点g移动到点h，电场力需要作的机械功w> 0 。所以，点g的电势比点h的电势高，从点g到点h的电势差为V。从点g到点h，电压降是V；从点h到点g，电压升是V。

给予一个具有完美晶格的晶体，移动于这晶体的电子，其运动等价于移动于自由空间的具有有效质量（effective mass）的电子的运动。所以，假设热运动足够微小，周期性结构没有偏差，则这晶体的电阻等于零。但是，真实晶体并不完美，时常会出现晶体缺陷（crystallographic defect），有些晶格点的原子可能不存在，可能会被杂质侵占。这样，晶格的周期性会被扰动，因而电子会发生散射。另外，假设温度大于绝对温度，则处于晶格点的原子会发生热震动，会有热震动的粒子，即声子，移动于晶体。温度越高，声子越多。声子会与电子发生碰撞，这过程称为晶格散射（lattice scattering）。主要由于上述两种散射，自由电子的流动会被阻碍，晶体因此具有有限电阻。

凝聚态物理学

凝聚态物理学研究物质的性质，特别是其电子结构。在凝聚态物理学里，欧姆定律更复杂、更广义的方程非常重要，属于本构方程（constitutive equation）与运输系数理论（theory of transport coefficients）的范围。