A. J. C. B. de圣维南于1855年和1856年先后解决了扭转和弯曲问题。澳大利亚的J.H. 米歇尔于1901年和1905年分别解出了几种分布载荷下的弯曲问题和变截面柱体的扭转问题。L.普朗特于1903年和S.P. 铁木辛柯于1913年利用引进应力函数（见应力函数和位移函数）的方法分别解决了以应力分量为基本未知函数的扭转和弯曲问题。

柱体扭转和弯曲问题属于仅在端面上受力的柱体平衡问题。按弹性力学方法得到严格满足边界条件的解是很困难的。为此，利用圣维南原理，将边界条件放松，即认为离端面足够远处的应力仅与端面上外力的合力及合力矩有关。这种放松了边界条件的问题称为圣维南问题。根据实验，圣维南假设，柱体纵向纤维之间的作用力为零。圣维南问题的解是唯一的，对大部分问题，解可以通过间接或近似方法求出。间接方法主要有两类：一类是半逆解法，即先在应力分量或位移分量中假设一部分未知函数的形式，然后将所假设的未知函数代入基本方程，并使全部的未知函数满足所给定的边界条件由此求得另外一部分未知函数。另一类是薄膜比拟，即利用弹性薄膜同扭转和弯曲问题的相似性，通过对薄膜的研究来确定扭转和弯曲问题中的未知量。用弹性力学方法得到的结果，其精度高于材料力学中以平截面假设为基础的结果。