考虑等截面柱体，取z轴沿柱体纵轴方向，柱体两端在xy面内受扭矩T的作用。在非圆形截面柱体的扭转问题中，截面不仅产生转动，而且产生翘曲。下面介绍求解这类问题的半逆解法和薄膜比拟方法。

柱体扭转和弯曲半逆解法

由于单位柱长上截面的相对转角θ较小，所以，x和y方向的位移u和v可认为是由截面作整体转动引起的。由此可假设u=－θzy，v=θzx，并假设z方向的未知位移分量为w=θψ（x，y），式中ψ（x，y）称为圣维南函数或翘曲函数，它满足的基本方程式为：

边界条件为：

式中s为边界S的周向长度。求出ψ后，根据ψ与应力分量的关系以及平衡关系，可求出θ，进而可确定位移分量和应力分量。

以应力分量为基本未知函数求解扭转问题时，根据圣维南的假设，正应力和xy平面内的剪应力为零，即

（注：t_xy和t_yx分别改为t_zx和t_yz）式中Ψ（x、y）称为普朗特函数或扭转应力函数，它满足的方程为：

其边界条件为：

式中G为拉梅常数，又称剪切模量；表示Ψs在边界S上的值。

在求得Ψ后，利用有关方程便可得到其余未知函数。对于外凸状的截面，最大剪应力出现在离截面中心最近的截面边界处。

柱体扭转和弯曲薄膜比拟

研究承受均匀横向压力作用的弹性薄膜的变形问题可以发现，当薄膜中的某呰物理量（如压力和表面张力）和柱体扭转问题中的某些物理量（如单位长度的扭转角θ和剪切模量G）之间满足一定的关系时，扭转问题中的物理量的数值可由和柱体截面形状相同的薄膜中相应的物理量的数值来确定。例如，柱体中任意一点剪应力分量可由薄膜对应点处与剪应力垂直的方向上薄膜的斜率来确定。由此可以得出结论：剪应力合力的方向是薄膜等高线的切线方向，最大剪应力出现在薄膜等高线最稠密的点。

在略去局部应力的影响后，用薄膜比拟法求得的狭矩形截面柱体的扭转结果可用于求解开口薄壁杆件的扭转。若用薄膜比拟法求解具有两个或两个以上边界的薄壁杆件的扭转问题，则需要将内边界用无重量的刚性平板来代替，并利用薄膜罩住的体积的两倍等于扭矩的关系以及剪应力环量公式联立求解，这样便可得到剪应力分量。所谓剪应力环量公式就是剪应力在薄膜等高线上的积分为常数，即

式中A为等高线所包围的面积。