度量空间亦称距离空间。一种拓扑空间，其上的拓扑由距离决定。设R是一个非空集合，ρ(x，y)是R上的二元函数，满足如下条件：

1.ρ(x，y)≥0且ρ(x，y)=0⇔x=y;

2.ρ(x，y)=ρ(y，x);

3.(三角不等式)ρ(x，y)≤ρ(x，z) ρ(y，z);

则称ρ(x，y)为两点x，y之间的距离，R按距离ρ成为度量空间或距离空间，记为(R，ρ)。设A是R的子集，则A按R中的距离ρ也成为度量空间，称为R的(度量)子空间。如果把上述距离的条件1改为ρ(x，y)≥0且ρ(x，x)=0，则称ρ为R上的拟距离。当ρ(x，y)=0时，记x～y.～是R上的一个等价关系，记商集(即等价类全体)为D=R/～，在D上作二元函数ρ～：ρ～(x～，y～)=ρ(x，y)(x∈x～，y∈y～)，则ρ～是D上的距离，而(D，ρ～)称为R按拟距离ρ导出的商(度量)空间。

度量空间(R，ρ)中的子集A称为有界的，如果对x₀∈R，存在常数M，使ρ(x₀，x)≤M对A中的一切x成立。设x₀∈R，r>0，则称集合{x|x∈R，ρ(x，x₀) 0为中心，r为半径的开球，或x ₀的r邻域，记为O(x ₀，r).又设A⊂R，若对任何x∈A，存在x的某个邻域O(x，r)⊂A，则A称为开集;而称开集的补集为闭集。R中包含子集A的最小闭集就称为A的闭包。

度量空间是弗雷歇(Fréchet，M.-R.)于1906年引进的，它是现代数学中的一种基本而重要并且非常接近于欧几里得空间的抽象空间，也是泛函分析的基础之一。

拓扑稳定性同胚

数学上指一对一的一种对应。在集合论(set theory)中指两组成员的一种属性，一组中的任何一个成员能同另一组中的一个成员配对，反之亦然。在拓扑学(topology)中，两个空间中的一个能不撕破、不粘连地变形成另一个，这两个空间就是同胚的。例如，球体的表面和立方体的表面就是同胚的。

设E与F为两个拓扑空间。称从E到F上的双射为从E到F上的同胚，如果这一映射能建立一个从E之全体开集的集合到F之全体开集的集合上的双射。

为使从E到F上的双射是同胚，其充分必要条件是： 这个双射是双连续的。

从一紧空间到另一紧空间上的任一连续双射是同胚。

拓扑稳定性实例——扩张映射

撒布(Shub，M.)在1969年最先研究得到的一类结构稳定的半动力系统。最简单的扩张映射的例子是复平面上由z↦z ²定义的单位圆周的自映射。一般定义是：设M是紧致黎曼流形，f∈C ¹(M，M)，如果存在M上的黎曼度量〈·，·〉和实数τ>1，使得：

则称f为扩张映射，这里|·|是由〈·，·〉引出的范数。扩张映射是结构稳定的，并且具有有理的ζ函数.因此，扩张映射是对微分同胚理论研究的推广。在紧流形上扩张映射的存在对流形本身需要加以很强的限制，其欧拉示性数必须是零，其通用复迭空间必须微分同胚于R，其基本群必须是无扭的等。例如，在二维紧曲面中，只有环面和克莱因瓶才可以具有扩张映射。