满足狄里赫利条件的周期性时间信号可以用傅里叶级数展开为一系列频率为Kf0（K=整数）的简谐时间函数之和

(1)

式中将式(1)中频率相同的正弦项、余弦项合并，即有

(2)

其中　由(1)、(2)两式可知，周期性时间信号可表示为一系列谐波之和，这些谐波的频率为f0的整倍数,Ck是频率为Kf0的谐波的振幅，φk就是这一谐波的初相角。对一周期性信号可以作出它的各谐波振幅Cn、初相角φn与角频率ω的关系的图像，这种图像分别称为振幅谱和相位谱。图中的周期性矩形脉冲的傅里叶级数展开式是式中　非周期性时间信号的谐波分析 　非周期性信号g(t)满足某些条件时，也可以展开为正弦形式的谐波的和。这时，由傅里叶级数的式中令T0→∞,=Δω→dω,可以得到傅里叶积分变换式

(3)

(4)

G(jω)为g(t)的傅里叶变换,g(t)则为G(jω)的傅里叶逆变换，记作

G(jω)=【g(t)】　 (5)

g(t)=-1【G(jω)】　 (6)

对式(4)可以作这样的解释:g(t)中频率为ω的简谐分量的复振幅以密度G(jω)分布在ω轴上，将这些频率连续分布在(-∞,∞)上的所有谐波相加(积分)即得到g(t)。G(jω)是复数,它的模和幅角都是频率ω的函数。将G(jω)记作

(7)

式中|G(jω)|称作幅频函数，θ(ω)称为相频函数。对于实数值的信号有即幅频函数是ω的偶函数，相频函数是ω的奇函数。

应用 　集总的线性系统的输入激励与输出响应的关系可以用一常系数线性微分方程表示

(8)

式中，u0、ui分别表示线性集总系统的输出量和输入量。带上标(K) 的量表示该量的K阶导数，例如等。对于形如ejwt的激励，式(8)所表示的系统的传递函数为

对于任一形式的激励ui(t)作用于此系统所产生的响应u0(t)，便可通过将ui作傅里叶变换，得其频谱密度再应用叠加定理分别计算各频率为ω的指数形激励产生的响应，最后将这些不同频率的响应相加使得到u0(t)。它便是系统在ui(t)的作用下产生的零状态响应。这一结果可表示为下面的积分上式就是U0(jω)的傅里叶反变换。在可以用解析的方法得到这一积分的通式的情况下,便可以得到u0(t)的表达式。在许多情况下，是采用数值方法去求上式的数值解。这时要将积分限限制在一有限的范围，并作离散化的处理。由此发展起来的快速傅里叶变换技术，为解决这类问题提供了快速而有效的算法。