命题1: 在圆中作弦MN，于直线MN同侧取点A、B、C，使点A、B、C分别在圆内、上、外，将点A、B、C分别与点M、N连结，则有∠A>∠B>∠C。

命题2: 顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半；顶点在圆内的角（两边与圆相交）的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半。

证明：如图，过C作CE//AB，交圆于E，（如图四）

则有∠P=∠DCE，弧AC=弧BE（圆中两平行弦所夹弧相等）

而∠DCE的度数等于弧DE的一半，弧DE=弧BD－弧BE=弧BD－弧AC

所以∠DCE的度数等于“弧BD－弧AC”的一半

即“顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半”

另外也可以连接BC，则∠P=∠BCD－∠B

∠BCD的度数等于弧BD的度数的一半

∠B的度数等于弧AC的度数的一半

同样得“顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半”

圆内角的证明完全类似：

过C作CE//AB，交圆于E，

则有∠APC=∠C，弧AC=弧BE（圆中两平行弦所夹弧相等）

而∠C的度数等于弧DE的一半，

弧DE=弧BD 弧BE=弧BD 弧AC

所以∠APC的度数等于“弧BD 弧AC”的一半

即“顶点在圆内的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数和的一半”

另外也可以连接BC进行证明