概念及算法

极大代数矩阵本征值问题(eigenvalue problem of matrix in max-algebra)由极大代数导出的一类矩阵本征值问题.按照极大代数中的加法①和乘法⑧的规则，可以和常规线性代数类同地定义矩阵及其运算.例如，若A=(Q;j}rnXpe}=(}J;j}pxn，则

许多实际问题可以归结为研究由下列矩阵关系定义的线性变换:二((t十1>=A⑧二(t>，其中x

这里极大代数意义下的}k垒,l②,l⑧ ...②,1= k.1，表明每演化一拍，x的各分量均增加相同的值又.由于极大代数描述的问题中，x(t)常表示第t拍时各事件发生的时刻，若求出本征值和本征向量，则可断言对应的系统行为进入了一种以又为周期的周期态，而这通常是人们期望并常在实际中观察到的.当系统能进人某种周期态或周期态的组合时，则称此(极大代数意义下的)系统为稳定的.

极大代数矩阵本征值问题与普通线性代数有完全不同的结论.为叙述这些结果，首先要将矩阵A 与下列加权有向图对应起来.该图有n个结点，分别代表二的一个分量，仅当矩阵A的(}i,j)元素a;;; 一二时，图中有一条由结点i到结点7的权为a;;的有向边.对该图的每一条长为l的回路(i } } i I } ... } i t

为该回路的权(其中运算为普通算术意义下的). 可以证明，当该图为强连通亦即矩阵A为不可约时，各回路最大的权几即为该矩阵的惟一本征值. 按定义它可简洁地表达为

其中所有运算都是在极大代数意义下的. 当该图不是强连通时，其本征值不仅应为某回路r，的平均权重a，而且这些r，到其他平均权重大于几的回路均无通道.反之，这些条件也保证了凡必为本征值.应当指出，本征向量的求法也是比较复杂的.对这种极大代数意义下的“线性”系统，亦可用状态反馈或输 出反馈来使受控系统稳定并具有指定的本征值(运行周期).