与传统刚性机械手相比，柔性机械手具有质量轻、体积小、速度高、负载能力强、能耗小、成本低等优点。柔性机械手的动力学特点是系统中的柔性部件在运动过程中经历着大的刚体整体移动和转动，同时又有变形运动，而且这两种运动又是高度耦合的。刚性系统中，只要动参考系选定，质量矩阵等都是不随时间变化的。但是在柔性系统中，包括质量矩阵等量都是随着物体变形而变化，都是时间的函数，这使柔性机械手的动力学问题的复杂性大大增加。

柔性机械手的弹性来自机械手构件和关节的弹性。柔性机械手的数学模型中如果不考虑柔性就会影响所需电机转矩和末端执行器位置的精确性。柔性机械手是一个复杂的动力学系统，其动力学方程具有高度非线性、强耦合、时变等特点，而进行柔性机械手动力学问题的研究，其模型的建立是极其重要的。

离散方法

柔性机械手是连续系统，可看作无数个多自由度，用一系列非线性耦合常微分和偏微分方程描述。它的精确动力学模型很难得到，因此通常将其离散成有限自由度作近似分析模型。为了便于分析计算，通常采用假定模态法(AAM)、有限元法(FEA)、集中质量法将其离散化。

假定模态法通常建立在Lagrange或Newton—Euler原理基础上。它采用空间特征方程和时变的模态幅度组成的有限个模态技术来描述弹性变形，采用模态截断技术，利用系统中各个子结构的模态，综合出系统的整个模态。Martins，Tso和MeteKalyoncu利用Lagrange方程和假定模态法研究了单杆柔性机械手动力学问题；RakhshaandGoldenberg利用Newton—Euler法和假定模态法研究了单杆柔性机械手动力学问题；AkiraAbe和Andr6Fenili利用Lagrange方程和假定模态法建立了两杆刚柔机械手的动力学模型。但是对于多杆构件，构件的模态相互作用所导致的模态共振现象，该方法并没有考虑；对于复杂截面、复杂载荷的多构件柔性机械手动力学分析，该方法也不适用。

有限元法也是建立在Lagrange或Newton—Euler原理基础上。它是把无限个自由度的连续体理想化为有限个自由度的单元集合体，使问题简化为适合数值解法的结构型问题。其特点是采用弹性单元、刚性结点、载荷向结点移置、刚度及阻尼特性由单元表征。有限元法非常适合复杂形状、边界和载荷情况下的物体作离散和分析，其边界条件和几何物理特性可以直接描述。BianYushu¨叫和MohamedandTokhi采用有限元法研究柔性机械手；MoulinandBayoc利用有限元法研究了柔性机械手逆动力学问题，在频域内求得了关节驱动力，在该驱动力作用下，机械手可以准确地跟踪给定轨迹；Tokhi应用有限元法建立了单杆柔性机械手动力模型，并将结果与实验所得模态所构建的动力学模型进行比较，验证了模型的正确性；RosadoandYuhara和Rosado应用Newton—Euler方程和有限元法，综合考虑了构件和关节的弹性变形，构建了两杆平面机械手动力学模型。该方法所得动力学方程较为复杂，动态响应求解运算量也较大。但是由于没有考虑构件大范围运动与弹性变形问动力学耦合问题，该方法应用范围有限，仅适用于低速、小变形情况。

集中质量法是将整个机械手看做是弹簧和质量块的综合，用若干离散结点上的集中质量代替原来系统中的分布质量，整个动力方程都能直接通过对质量的近似离散化处理得到。MegahedandHamza，Raboud等学者在这方面进行了很多的研究工作。该方法是最简便的分析方法，但求解精确度不高。

动力学模型建立方法

柔性机械手的弹性变形导致振动现象出现。很多研究者通过提高动力学模型的精确度和采用不同的控制策略来解决。无论是连续或离散的柔性机械手动力学模型，其建模方法主要基于矢量力学和分析力学。Newton—Euler公式、Lagrange方程、变分原理、Kane方程和虚功原理是应用较广泛同时也是比较成熟的。

(1)Newton—Euler公式。

Newton—Euler法又称为D’Alembert原理，主要考虑惯性力与主动力和约束力的平衡，对于柔性杆要考虑弹性力。Newton—Euler公式应用质心动量矩定理写出隔离体的动力学方程，在动力学方程中出现相邻体间的内力项，其物理意义明确表达了系统完整的受力关系，并且具有良好的开放性。

(2)Lagrange方程。

Lagrange方程是用系统的动能对广义坐标和广义速度的偏导数表示的动力学方程。Hamilton正则方程与Lagrange方程完全等价。应用Lagrange方程时，求出能量函数，以能量方式建模，可以避免方程中出现内力项。Lagrange方程在完整系统中应用广泛且方便，对于非完整系统可采用Lagrange乘子。AndrFenili利用Lagrange方程建立了两杆刚柔机械手的动力学模型；Martins，Tso和杨玉维利用Lagrange方程对单杆柔性机械手进行了研究；该方法在使用时需要对时间求导，使求解过程变得繁琐，尤其对于柔性系统，由于系统构型随着时间变化，微分运算过程更加复杂。

(3)变分原理。

Gauss原理和Hamihon原理是两种应用最普遍的变分原理。变分原理不需要建立动力学微分方程，可直接应用优化计算方法进行动力学分析。变分原理将真实发生的运动与约束允许的可能运动加以比较，将系统真实运动应满足的条件表示为某个函数或泛函的极值条件，并利用此条件确定系统的运动，从而提供了一种能将真实运动从可能运动中甄别出来的准则。这种方法可结合控制系统的优化进行综合分析，便于动力学分析向控制模型的转化。BarunPratihe应用扩展的Hamilton原则建立柔性单杆动力学模型；Efiy.chiosG，Christoforou利用Lagrange公式和Hamilton原理对柔性机械臂进行了深入的研究工作；HassanZo—hoor利用Hamilton原理获得柔性两杆飞行机械手的柔性动力学方程。这种方法开辟了一个不必建立运动微分方程的新途径，可直接运用优化计算方法进行动力学分析。

(4)Kane方程。

Kane方法是建立多体系统动力学方程的又一种方法，它是基于D’Alembert原理，利用广义速率代替广义坐标作为独立变量来描述系统的运动，从而导出动力学方程，Kane将这种方法称为Lagrange形式的D’Alembert原理。负今天、王树新、丁杰利用Kane方程建立了任意形状柔性体动力学方程和一般柔性多体系统的动力学方程[胡权，贾英宏，徐世杰对Kane方程进行扩展，建立了不含待定乘子适用于任意多体系统的动力学模型。该方法可消除方程中的内力项，避免使用动力学函数求导的繁琐运算，使推导过程较为系统化，适用于计算机符号推导和编程，但是它不直观。

(5)虚功原理。

把虚位移原理与D’Alembert原理结合起来，就成为可以解决具有理想约束系统的动力学问题的虚功原理。虚功原理与Kane方法类似。薛克宗、赵平口利用虚功原理建立了柔性多体系统的微分方程。该方法建立的方程中不含约束反力，不能直接求出约束反力。