根据变分学中关于求多个未知函数极值的原理,在未知函数连续且具有连续导数的条件下有如下尤拉方程式:以下是对(5)式的推导求解过程.在此推导过程中,为了说明方便,有如下假设:a.__梯级水电站间均为间断式衔接;b._基于电力系统中长期调度,不考虑电站间水流流达时间问题;c.基于电力系统中长期调度,各时段水头与流量互不影响.取分别表示梯级第座水电站的工作流量和天然入库流量(或区间流量.则:由可得:则:其中,表示虚拟火电厂微增率,表示水电站能效系数;从(8)式可知,梯级系统中电站蓄水量的变化会影响本电站和其下游电站的出力;将(7)和(8)代入(5)式即:整理可得:用,分别表示虚拟火电厂和第座水电厂的相对增率,则系统中个水电站最优调度线满足等相对增率原则:对此微分方程组的积分求解,从原则上看,可以求得系统中各水电站水库的最优调度过程,使得系统的耗煤量最小.但是,由于蕴含在此微分方程中的天然流量过程线;水电站动力设备及其水库的动力特性;火电厂的经济特性和电力系统负荷等,都难以用简单的解析式表示出来,而且即使近似表示出来,那么得到的方程结构也将十分复杂而无法求解.因此,需要对此结果进行分析,推求易求解的等价方程.由上述可知:令:,表示第水库的蓄水量,即,则上式可做如下变换:表示水库天然(或区间)入库流量.由(13)可知,在系统梯级各水电站当前时刻天然入库流量和系统负荷已知的情况下,合理安排各电站的,满足系统的的动力平衡,即可使电力系统实现经济调度.如此,就将原问题转化为方程组的求解问题.在有S个梯级水库的电力系统,将有S个待求参量Qr,根据式(13),可得(S-1)个代数方程,再由电力系统动力平衡方程如(3)表达式,即可组成由S个方程组组成的,包含S个未知参量的方程组,解此方程组,即可求得任意时刻系统各电站最优的出力分配.由上述(13)式可知,其具有复杂的方程结构,求解解析解将十分困难.在实际应用中,只能尽量在各种约束的条件下,尽量满足此优化准则.