约束最优化问题就是求目标函数

满足约束条件

的极值问题。因此，约束最优化，也称条件极值 。

约束最优化问题的解法有两种：

约束最优化问题化约束最优化问题为无约束最优化问题

例1 最大面积 设长方形的长、宽之和等于

问长方形的长、宽如何设计，才能使面积最大"para" label-module="para">

解: 这就是一个约束最优化问题：设长方形的长为x，宽为y，求目标函数A=xy在条件x y=a之下的最大值。

由于从约束条件x y=a中容易解出y=a-x，代入目标函数

问题归结为求一元函数A(x)的极值。

由

，得驻点

。这是实际问题，最值一定存在，则

就是最大值点。因此，当

时，长方形面积最大，其最大值为

。

从上述例子可以看出化约束最优化问题为无约束最优化问题的思路：从约束条件

中解出

并将它代人目标函数

于是，问题就转化为求一元函数

的无约束最优化问题。

但是，这种方法有局限性，因为有时从约束条件

中解出y或x并非易事。因此，下面介绍另一种方法 。

约束最优化问题拉格朗日乘数法

这一方法的思路是：把求约束最优化问题转化为求无约束最优化问题，看它应该满足什么样的条件"para" label-module="para">

设

是函数

在约束条件

下的约束最优化问题的极值点。如果函数

在点(x，y)的邻域内有连续偏微商，且

、

不全为0(不妨设

≠0)，则根据费马引理，一元函数

在点x的微商

由隐微分法，有

而

是由

所确定，所以

代入上式，消去

，得

即

令

则有

称满足此方程组(1)的点(x，y)为可能极值点。

为了便于记忆，并能容易地写出方程组(1)，我们构造一个函数

称

为拉格朗日函数。则方程组(1)可以记为

于是，我们把用拉格朗日乘数法求解约束最优化问题的步骤归纳如下：

①构造拉格朗日函数

称为拉格朗日乘数；

②解方程组

得点(x，y)为可能极值点；

③根据实际问题的性质，在可能极值点处求极值 。2100433B