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约束最优化问题约束最优化问题的解法

2022/07/16201 作者:佚名
导读:约束最优化问题就是求目标函数 满足约束条件 的极值问题。因此,约束最优化,也称条件极值 。 约束最优化问题的解法有两种: 约束最优化问题化约束最优化问题为无约束最优化问题 例1 最大面积 设长方形的长、宽之和等于 问长方形的长、宽如何设计,才能使面积最大"para" label-module="para"> 解: 这就是一个约束最优化问题:设长方形的长为x,宽为y,求目标函数A=xy在条件x y=

约束最优化问题就是求目标函数

满足约束条件
的极值问题。因此,约束最优化,也称条件极值 。

约束最优化问题的解法有两种:

约束最优化问题化约束最优化问题为无约束最优化问题

例1 最大面积 设长方形的长、宽之和等于

问长方形的长、宽如何设计,才能使面积最大"para" label-module="para">

解: 这就是一个约束最优化问题:设长方形的长为x,宽为y,求目标函数A=xy在条件x y=a之下的最大值。

由于从约束条件x y=a中容易解出y=a-x,代入目标函数

问题归结为求一元函数A(x)的极值。

,得驻点
。这是实际问题,最值一定存在,则
就是最大值点。因此,当
时,长方形面积最大,其最大值为

从上述例子可以看出化约束最优化问题为无约束最优化问题的思路:从约束条件

中解出
并将它代人目标函数
于是,问题就转化为求一元函数

的无约束最优化问题。

但是,这种方法有局限性,因为有时从约束条件

中解出y或x并非易事。因此,下面介绍另一种方法 。

约束最优化问题拉格朗日乘数法

这一方法的思路是:把求约束最优化问题转化为求无约束最优化问题,看它应该满足什么样的条件"para" label-module="para">

是函数
在约束条件
下的约束最优化问题的极值点。如果函数
在点(x,y)的邻域内有连续偏微商,且
不全为0(不妨设
≠0),则根据费马引理,一元函数
在点x的微商

由隐微分法,有

是由
所确定,所以

代入上式,消去
,得

则有

称满足此方程组(1)的点(x,y)为可能极值点。

为了便于记忆,并能容易地写出方程组(1),我们构造一个函数

为拉格朗日函数。则方程组(1)可以记为

于是,我们把用拉格朗日乘数法求解约束最优化问题的步骤归纳如下:

①构造拉格朗日函数

称为拉格朗日乘数;

②解方程组

得点(x,y)为可能极值点;

③根据实际问题的性质,在可能极值点处求极值 。2100433B

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