壳体方程组十分复杂，所以对任意载荷下的任意形状壳体求得一般解是很困难的，而只能求经过简化的某些特殊壳体的解，它们在工程应用上具有重要的价值。这些壳体有：
如果壳体的几何形状（包括厚度）和表面载荷都是连续可微函数，则除壳体边缘局部区域可能由于受支承而出现弯曲应力外，大部分壳体一般处于无弯矩的应力状态。这种状态与薄膜受力状态相当，可根据壳体的无矩理论求解。按照这个理论，弯矩分量Μ1=Μ2=Μ12=0。根据平衡条件得到N1=N2=0;T12=T21，记为S。这样，在一般情况下，壳体的六个平衡方程将简化成只包含三个未知内力的三个方程：
无矩理论的上述基本方程是静定可解的，并且可归结为某个位移函数（见应力函数和位移函数）的四阶偏微分方程。工程上常见的二次旋转曲面壳体，在轴对称载荷（如均布压力、水压、风型载荷和重力等）作用下，可用无矩理论求得解析解。该解不仅近似地反映了壳体大部区域的应力和变形，而且在一般情况下，它与考虑弯矩后得到的特解之差为t/R的数量级，故可近似地作为特解。此外，无矩状态还是结构最佳的受力状态，所以无矩理论具有重要的实用价值。
圆筒壳制作方便，应用极为广泛。此外，圆筒壳沿母线方向的曲率为零，而其周向曲率又为常数，所以易于进行理论分析。最初，圆筒壳方程的表达式相当复杂，1933年美国的L.H.唐奈作了简化：①在壳体中面的周向平衡方程中，忽略周向曲率对横向剪力N2的影响；②在变形分量κ1、κ2和κ12的几何方程中，略去含切向位移分量u和v的项。由此得到在仅有法向表面载荷q3作用的唐奈方程：
式中ξ=x/a，θ=s/a,a为圆筒的半径，x、s分别表示轴向和周向的长度变量；
1932年，苏联的В.З.符拉索夫针对周向加劲的长圆柱壳体（见加劲板壳）提出了一种简化的半无矩理论（又称半弯矩理论）。它是在忽略柱体母线方向所有弯矩和周向变形的基础上建立的理论，它还被推广应用于任意截面形状的长柱壳体。
德国的H.瑞斯纳和瑞士的E.迈斯纳分别于1912年和1913年以旋转壳体经线上的横向剪力和纬线方向的主曲率半径的积作为变量，并用经线上切线的转动角为另一变量，将壳体基本方程简化成两个互相耦合的二阶常微分方程的方程组。在无表面载荷的情况下，它是齐次方程组，可化为一个复数函数表达的二阶常微分方程。由于壳体弯曲具有边界效应，作为初级近似，德国的J.W.盖克勒于1926年曾利用这一特点把方程进一步简化。因原微分方程具有渐近性质，所以可用渐近积分方法求得精度较高的解。
对于工程上常用的拱高较小（一般拱高与底面特征长度相比不超过1/5）的扁壳，德国的K.马格雷和苏联的穆什塔利于1938年根据其几何特点分别建立了这类壳体的基本方程。1944年符拉索夫将这一成果发展成为系统的扁壳近似理论。这一理论利用壳体中面扁平的特点把高斯曲率近似地取为零。另外，除了在中面应变分量的几何关系式和法向平衡方程中保留曲率效应外，其他都近似地采用平板方程的表达式。由于这些简化和圆柱壳体中的唐奈方程的近似假定相同，扁壳理论应用于零高斯曲率的圆柱壳体同唐奈方程完全一致，因此扁壳方程也可以说是唐奈方程的推广。
