建设工程知识

非线性弹性力学变形描述

变形描述在讨论非线性弹性力学问题时，取初始时刻物体在三维空间中所占的区域为参考构形（见）,在其上取笛卡儿坐标。在时刻物体所占的区域为现时构形，在其上取笛卡儿坐标。

由方程

对于有单值逆变换的情形，存在

在时刻物质点的位置矢量为X，在运动过程中，该点在时刻的位置矢量为，则

在时刻物质点的位置矢量为X，在运动过程中，该点在时刻的位置矢量为，则

其中u是该物质点的位移矢量,它在

和

中的坐标分别记为

和

。

必须区分使用

和

坐标，这是非线性弹性力学区别于线性弹性力学的基本特征之一。

描述物体变形的量有变形梯度，在

中，其定义为：

其中

为克罗内克符号；

为位移分量的偏导数，即变形梯度既包含纯变形又包含刚性转动，为把纯变形从其中分解出来，须采用极分解定理，相应于左分解和右分解分别得到左柯西-格林应变

(又称芬格应变)和右柯西-格林应变

(又称格林变)。而在

中有逆应变

(称为皮奥拉应变)和

(称为柯西应变)。为了使略去非线性项后所得应变与线性弹性力学中的应变相同，在坐标

中还定义了拉格朗日应变

，相应于坐标

则定义欧拉应变

，这六种应变在理性力学中称为变形张量。

近代非线性弹性力学采用变形梯度作为最基本变行量，其他应变都可由它定义或导出。非线性弹性力学较常使用上述六种应变，而线性弹性力学只使用一种应变，即在

中略去位移偏导数的二次项（非线性项）后的应变。

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