(1)群(group)的定义 ：给定集合G和G上的二元运算 · ，满足下列条件称为群：

(a)封闭性(Closure)：

若a,b∈G，则存在c∈G，使得a·b=c。

(b)结合律(Associativity)：

任意a,b,c∈G，有(a·b)·c=a·(b·c)。

由于结合律成立，(a·b)·c=a·(b·c)可记做a·b·c；

(c)有单位元(Identity)：

存在e∈G，任意a∈G，a·e=e·a=a。

(d)有逆元(Inverse)：

任意a∈G，存在b∈G,，a·b=b·a=e.。记为b=a^-1。

(2)置换群

置换群是最重要的有限群，所有的有限群都可以用之表示。[1,n]到自身的1-1映射称为n阶置换。n阶置换共有n!个，同一置换用这样的表示可有n!个表示法。[1,n]上的由多个置换组成的集合在置换乘法下构成一个群,则称为置换群，证明如下：

（3）Burnside引理

设G是[1,n]上的一个置换群。G是S_n的一个子群. k∈[1,n]，G中使k元素保持不变的置换全体，称为k不动置换类，记做Z_k。设G={a₁,a₂,…a_g}是目标集[1,n]上的置换群。每个置换都写成不相交循环的乘积。c₁(a_k)是在置换a_k的作用下不动点的个数，也就是长度为1的循环的个数。G将[1,n]划分成l个等价类。等价类个数为：l=