1. 假定 是作用于 的置换群， 是作用于 的置换群。
若 和 是不相交的两个集合， ，令 作用于 ，有
换句话说，若用 表示上面的运算，它是作用于 个元素
的置换，它对 的作用属于 的置换，对 的作用属于 的置换。这样的群用 来表示，群 的阶应有
现在再来看看 和 、 的关系如何？假如 的格式为
的格式为
则 的格式为
所以
2. 作用于 ，即 作用与 ，使 ， 。同样有 。
群 的阶为 。
若存在 和 ，使得 ，有 。令 则有 ，而且 是使 成立的 的最小值。所以元素 是 中属于群 的 -循环.这样的 -循环数目为
对于一般的有：
其中 ， ， ，。
