建设工程知识

相交数概念

相交数是重要的同伦不变量。映射度在更一般情形的推广。设M与N分别是m维与n维的紧致有向(无边)微分流形，n>m，A是N的(n-m)维闭有向子流形，f：M→N是C映射，f

A，对于p∈f(A)，当线性同构：

T_pMT_f(p)N→T_f(p)N/T_f(p)A

保持定向时，记为#_p(f，A)=1；否则记为#_p(f，A)=-1，则#(f，A)=∑_p∈f(A)#_p(f，A)∈Z(因为f(A)在M中余维为m)，称为映射f对于子流形A的相交数。类似于映射度情形，得到：若f，g：M→N是光滑同伦映射，f

A，g

A，则：

#(f，A)=#(g，A)

由此可将相交数定义推广到一般连续映射的情形。相交数有直观的几何背景，设M₁，M₂N都是N的有向(无边)紧致子流形，

dim N=dim M₁ dim M₂，

M₁

M₂(即处于一般位置)，i：M₁→N为包含映射，则#(i，M₂)实际上是M₁∩M₂中点的“代数”个数(按定向，每一点赋予适当的符号)，称为(M₁，M₂)的相交数，记为#(M₁，M₂)或#(M₁，M₂;N)。从而：

#(M₁，M₂)=(-1)dimM_1·dimM1#(M₂，M₁)

注意，当M，N或A不是可定向流形时，可类似于模2映射度而定义模2相交数#₂(f，A)。

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