(1)转置后秩不变

(2)r(A)<=min(m,n),A是m*n型矩阵

(3)r(kA)=r(A),k不等于0

(4)r(A)=0 <=> A=0

(5)r(A B)<=r(A) r(B)

(6)r(AB)<=min(r(A),r(B))

(7)r(A) r(B)-n<=r(AB)

证明：

AB与n阶单位矩阵En构造分块矩阵

|AB O|

|O En|

A分乘下面两块矩阵加到上面两块矩阵,有

|AB A|

|0 En|

右边两块矩阵分乘-B加到左边两块矩阵,有

|0 A |

|-B En|

所以,r(AB) n=r(第一个矩阵)=r(最后一个矩阵)>=r(A) r(B)

即r(A) r(B)-n<=r(AB)

注：这里的n指的是A的列数。这里假定A是m×n矩阵。

特别的：A:m*n,B:n*s,AB=0 -> r(A) r(B)<=n

(8)P,Q为可逆矩阵, 则 r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)

(9)若矩阵可相似对角化则矩阵的秩等于矩阵非零特征值的个数。2100433B