建设工程知识

线性常微分方程微分方程

欲得到非齐次线性微分方程的通解，我们首先求出对应的齐次方程的通解，然后用待定系数法或常数变易法求出非齐次方程本身的一个特解，把它们相加，就是非齐次方程的通解 。

线性常微分方程待定系数法

考虑以下的微分方程：

对应的齐次方程是：

它的通解是：

由于非齐次的部分是

，我们猜测特解的形式是：

把这个函数以及它的导数代入微分方程中，我们可以解出A：

因此，原微分方程的解是 ：

线性常微分方程常数变易法

假设有以下的微分方程：

我们首先求出对应的齐次方程的通解

，其中C₁、C₂是常数，y₁、y₂是x的函数。然后我们用常数变易法求出非齐次方程的一个特解，方法是把齐次方程的通解中的常数C₁、C₂换成x的未知函数u₁、u₂，也就是 ：

两边求导数，可得：

我们把函数u₁、u₂加上一条限制：

于是，代入上式，可得：

两边再求导数，可得：

把(1)、(3)、(4)代入原微分方程中，可得：

整理，得：

由于y₁和y₂都是齐次方程的通解，因此

和

都变为零，故方程化为：

将(2)和(5)联立起来，组成了一个

和

的方程组，便可得到

和

的表达式；再积分，便可得到

和

的表达式。

这个方法也可以用来解高于二阶的非齐次线性微分方程。一般地，有：

其中，W表示朗斯基行列式。

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