定理2(边界对应定理的逆定理，判断解析函数单叶性的充分条件)
设单连通区域D及G，分别是两条围线的内部，且设函数满足下列条件
(i)在区域D内解析，在上连续；
(ii) 将c双方单值地变成C，
则：(1)在内单叶；(2)(从而将D共形映射成G)。
证明设为G内任一点，我们证明，而且方程在c内部只有一个根，根据辐角原理
(在z沿c的正向绕行一周的假定下)。由假设条件(ii)，这时应该沿的正向或负向绕行一周。因此，起点在终点在上的向量应该转角，于是
负号显然应该除去(因为N≥0)，因此我们肯定必须沿的正向(的内部在此方向的左边)绕行，并且方程在区域D内只有一个根。
其次，设位于的外部，则必，因为
即方程在D内无根。
再设为上的任一点，我们证明方程在D内无根。假定D内有一点，使，则可得一个以为中心的圆周，使对内部任意一点，方程在D内有根(因区域，为其内点)。特别在内部取一点位于的外部，由第二段的证明，方程在D内无根，发生矛盾。
综合上述讨论可知函数在D内单叶，并将D共形映射为的内部G。
【例1】如果将函数表成极坐标的形式，令
则它把z平面上的圆周(见图1)
变成心脏线
并且是双方单值的。
由定理2(单叶性原理)，将这个圆周的内部共形映射成心脏线的内部 。
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