建设工程知识

酉变换相关概念

酉变换对称变换

定义 设V为酉空间，A∈L(V)，如果

则称线性变换A为V的对称变换 。

对于对称变换，我们有下面的结论。

定义 设

，如果

对称矩阵H为埃尔米特(Hermite)矩阵。

定理 设V为酉空问，则

A为V的对称变换

A关于V的任一个规范正交基的矩阵是埃尔米特矩阵。

关于对称变换与埃尔米特矩阵还有下面的结论。

定理 设V为酉空间，A为V的对称变换，则

(1)A的特征值是实数；

(2)A的属于不同特征值的特征向量正交；

(3)存在V的一个规范正交基，使得A关于这个基的矩阵是对角矩阵。

定理 设H是为n阶埃尔米特矩阵，则存在n阶酉矩阵U，使得

是一个对角矩阵。

ie：埃尔米特矩阵一定“酉相似”于一个对角矩阵 。

酉变换Household变换

设

，且

。则由矩阵

所确定的线性变换

是

中的酉变换。

Household矩阵有以下性质：

①

；(Hermite矩阵)

②

；(酉矩阵)

③

；(对合阵)

④

；(自逆阵)

⑤若

，则

。

Household变换也称为初等反射变换，而Household矩阵也称为初等反射矩阵 。2100433B

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