建设工程知识

齐次线性方程组定义

常数项全为0的n元线性方程组

称为n元齐次线性方程组。设其系数矩阵为A，未知项为X，则其矩阵形式为AX=0。若设其系数矩阵经过初等行变换所化到的行阶梯形矩阵的非零行行数为r，则它的方程组的解只有以下两种类型：

1. 当r=n时，原方程组仅有零解；

2. 当r

齐次线性方程组证明

对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

齐次线性方程组示例

依照定理n=4>m=3一定是存在非零解。

对系数矩阵施行初等行变换：

最后一个矩阵为最简形，此系数矩阵的齐次线性方程组为：

令X ₄为自由变元，X ₁，X ₂，X ₃为首项变元。

令X ₄=t，其中t为任意实数，原齐次线性方程组的解为

。

齐次线性方程组判定定理

定理1

齐次线性方程组

有非零解的充要条件是r(A)

齐次线性方程组

仅有零解的充要条件是r(A)=n。

齐次线性方程组结构

齐次线性方程组解的性质

定理2 若x是齐次线性方程组

的一个解，则kx也是它的解，其中k是任意常数。

定理3 若x1,x2是齐次线性方程组

的两个解，则x1 x2也是它的解。

定理4 对齐次线性方程组

，若r(A)=r 存在基础解系，且基础解系所含向量的个数为n-r，即其解空间的维数为n-r。

求解步骤

1、对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；

2、若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；

若r(A)=r

4、选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系，进而写出通解.

齐次线性方程组性质

1.齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。

2.齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。

3.齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。

齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)

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