二叉排序树(Binary Sort Tree：BST)
1、二叉排序树的定义
二叉排序树(Binary Sort Tree)又称二叉查找(搜索)树(Binary Search Tree)。其定义为：二叉排序树或者是空树，或者是满足如下性质的二叉树：
①若它的左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；
②若它的右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；
③左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。
上述性质简称二叉排序树性质(BST性质)，故二叉排序树实际上是满足BST性质的二叉树。
2、二叉排序树的特点
由BST性质可得：
（1） 二叉排序树中任一结点x，其左(右)子树中任一结点y(若存在)的关键字必小(大)于x的关键字。
（2） 二叉排序树中，各结点关键字是惟一的。
注意：
实际应用中，不能保证被查找的数据集中各元素的关键字互不相同，所以可将二叉排序树定义中BST性质(1)里的"小于"改为"小于等于"，或将BST性质(2)里的"大于"改为"大于等于"，甚至可同时修改这两个性质。
（3） 按中序遍历该树所得到的中序序列是一个递增有序序列。
【例】下图所示的两棵树均是二叉排序树，它们的中序序列均为有序序列：2，3，4，5，7，8。
3、二叉排序树的存储结构
typedef int KeyType； //假定关键字类型为整数
typedef struct node { //结点类型
KeyType key； //关键字项
InfoType otherinfo； //其它数据域，InfoType视应用情况而定，下面不处理它
struct node *lchild，*rchild，*parent； //左右孩子指针
} BSTNode；
typedef BSTNode *BSTree； //BSTree是二叉排序树的类型
二叉排序树的基本操作（pascal）：
1.中序遍历所有元素
procedure tree_walk(x:longint);
begin
if x<>0 then
begin
tree_walk(left[x]);
write(key[x]);
tree_walk(right[x]);
end;
2.查找给定的元素
function tree_search(x,k:longint):longint;
begin
if (x=0) or (k=key[x]) then exit(x);
if k end; 非递归版本 function tree_search(x,k:longint):longint; begin while (x<>0) and (k<>key[x]) do begin if k end; exit(x); end; 3.查找最小元素 function tree_minimum(x:longint):longint; begin while left[x]<>0 do x:=left[x]； exit(x); end; 查找最大元素 function tree_maximum(x:longint):longint; begin while right[x]<>0 do x:=right[x]; exit(x); end; 4. 求后继 function tree_successor(x:longint):longint; var y:longint; begin if right[x]<>0 then exit(tree_minimum(right[x]));//若右子树不空，则返回右子树中的最小值 y:=p[x];//若右子树为空，则后继y为x的最低祖先节点，且y的左儿子也是x的祖先 while (y<>0) and (x=right[y]) do begin x:=y; y:=p[y]; end; exit(y);//注意，若y为0，则x无后继 end; //注意，函数返回值为节点编号，并不是节点本身的值 5.插入 procedure tree_insert(z:longint);//注意z为节点编号，并非树中的值 var x,y:longint; begin y:=0; x:=root; while x<>0 do//查找z的父节点，y记录 begin y:=x; if key[z] end; p[x]:=y; if y=0 then root:=z//若z为根节点 else begin if key[z] end; end; 6.删除 删除操作是最麻烦的，分3种情况： （1）若z无子树，则就删除z节点，更新p[z]的值为空 （2）若z有一个子树，删除z节点，更新p[z]的值为z的儿子节点，更新left[p[z]] 或 right[p[z]] （3）若z有两棵子树，先找到z的后继y（后继节点无左子树，可证），删除y节点，更新p[y]与left[p[y]] 或 right[p[y]],最后用节点y的数据覆盖z节点 procedure tree_delete(z:longint); var x,y:longint; begin if (left[z]=0) or (right[z]=0) then y:=z else y:=tree_successor(z); if left[y]<>0 then x:=left[y] else x:=right[y]; if x<>0 then p[x]:=p[y]; if p[y]=0 then root:=x else begin if y=left[p[y]] then left[p[y]]:=x else right[p[y]]:=x; end; if z<>y then key[z]:=key[y]; end; 7.查找数中第k大元素 需要对每个节点新开一个域v[x]，记录该节点的有多少子节点， 查找时分三种情况： （1）k=v[left[x]] 1 则当前x节点为所求 （2）k<=v[left[x]] 则在左子树中继续查找 （3）k>v[left[x]] 1 则在右子树中继续查找,k更新为k-left[x]-1; function find(x,k:longint):longint; begin if v[left[x]] 1=k then exit(key[k]) else if v[left[x]]>=k then exit(find(left[x],k)) else exit(find(right[x],k-v[left[x]]-1)); end;
