测绘中广泛使用的测量平差法，是基于最小二乘原理的测量数据处理方法，它是利用直接测量采集观测数据（观测向量），再利用此观测数据（ 观测向量）结合平差数学模型，对被测量结果进行估计的过程，估计方法采用“数理统计学” 中著名的“ 最小二乘法”。平差处理结果包括被测量的测量结果和表征此测量结果不确定性的标准差（中误差）。测量平差法本质上相当于对测量中的随机误差进行了有效的减弱（ 采集数据量越大， 减弱效果越好， 直到几乎消除）， 对测量中不等权的非确定性系统误差（ 即大小水平不一致的非确定性系统误差）进行了合理的分配，但对于测量中等权的非确定性系统误差（即大小水平一致的非确定性系统误差）没有起到消除或减弱作用。所以，平差后所得的测量结果标准差（ 中误差），只是表征了随机效应导致的测量不确定性（ 度），是测量不确定度的随机分量，为了完全表征测量结果不确定性（ 度）， 还需要考虑系统效应导致的不确定性（ 度） 并加以合成 。

测量平差法虽然包括了一定的现场测量条件，但其测量结果（平差结果）只是测得值所处范围的一个参数（随机误差）。在计量学中，测量的目的是为了确定被测量的量值。测量不确定度就是对测量结果质量的定量表征，测量结果表述必须同时包含赋予被测量的值及与该值相关的测量不确定度，才是完整并有意义的。用测量不确定度表征测量结果不确定性，既要考虑测量结果的系统误差效应，又考虑了测量结果的随机误差效应，严格说还考虑了测量结果的模糊效应，所以测量不确定度具有严密的科学性与严谨性，是测量结果不确定性的精确描述。随机误差（平差结果）是由于测量时的随机因素或效应所引起的相对于被测量真值的偏差，这种随机因素或效应，将导致重复测量时测量结果值的分散性。这说明，随机误差具有随机不确定性，这种不确定性的具体特征就是值的分散性，随机误差应属于随机不确定性量，其数学期望（均值）为零。

测量结果=被测量真值 系统误差 随机误差

=被测量真值 确定性系统误差 非确定性系统误差 随机误差

=确定性分量 非确定性分量

以上讨论了测量平差结果在计量学测量结果不确定度评定中，只是不确定度分量之一。因为，测量结果是被测量真值、系统误差、随机误差（中误差）这三个量的合成，故其不确定性应由这三个量的不确定性决定，研究测量结果不确定度应由这三个量的不确定度着手。仅考虑随机不确定性，是不全面不客观的 。2100433B

其精确定义可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系,这种函数关系称为经验公式。最小二乘法如何寻之间近似成线性关系时的经验公式，假定实验测得变量之间个数 , ,…, ,则平面上,可以得个 ,这种图形称为“散点图”,从图中可以粗略看出这些点大致散落在某直线近旁，我们认之间近似为一线性函数,下面介绍求解步骤，考虑函 ,其是待定常数.如在一直线上,可以认为变量之间的关系 。但一般说来,这些点不可能在同一直线上. ,它反映了用直来描 ,时,计算与实际产生的偏差。当然要求偏差越小越好,但由可正可负,因此不能认为总偏时,函就很好地反映了变量之间的关系,因为此时每个偏差的绝对值可能很大。为了改进这一缺陷,就考虑来代替。但是由于绝对值不易作解析运算,因此,进一步来度量总偏差。因偏差的平方和最小可以保证每个偏差都不会很大，于是问题归结为确中的常 ,为最小，用这种方法确定系 ,的方法称为最小二乘法。最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配，是用最简的方法求得一些绝对不可知的真值。

由于测量仪器的精度不完善和人为因素及外界条件的影响，测量误差总是不可避免的。为了提高成果的质量，处理好这些测量中存在的误差问题，观测值的个数往往要多于确定未知量所必须观测的个数，也就是要进行多余观测。有了多余观测，势必在观测结果之间产生矛盾，测量平差的目的就在于消除这些矛盾而求得观测量的最可靠结果并评定测量成果的精度。测量平差采用的原理就是“最小二乘法”。

考虑函数是待定常数，如果在一直线上，可以认为变量之间的关系，但一般说来，这些点不可能在同一直线上。记，它反映了用直线来描述时，计算值与实际值产生的偏差。当然要求偏差越小越好，但由于可正可负，因此不能认为总偏差时，函数就很好地反映了变量之间的关系，因为此时每个偏差的绝对值可能很大。为了改进这一缺陷，就考虑用来代替，但是由于绝对值不易作解析运算，因此，进一步用来度量总偏差。因偏差的平方和最小可以保证每个偏差都不会很大。于是问题归结为确定中的常数和使为最小，用这种确定系数的方法称为最小二乘法。

计量应用

计量科学与测绘科学都是以物理学、数学及近代计算机科学为基础的学科，本质上两者是相容、一致的。在计量学中，对测量不确定度给出的综合的不确定性评价，此评价不但考虑了观测时各种误差因素的联合影响，包括观测时随机效应的影响，一些系统效应的影响， 也考虑了测量时其他因素的影响，文章主要针对这一问题进行探讨，旨在通过对“测量平差理论在计量中的应用”的本质内涵的深入探讨，期望这一问题得到缓解或解决，最终的目的是便于测绘仪器校准工作的开展。

测量误差理论主要在对模型误差的研究上，主要包括：平差中函数模型误差、随机模型误差的鉴别或诊断；模型误差对参数估计的影响，对参数和残差统计性质的影响；病态方程与控制网及其观测方案设计的关系。由于变形监测网参考点稳定性检验的需要，导致了自由网平差和拟稳平差的出现和发展。观测值粗差的研究促进了控制网可靠性理论，以及变形监测网变形和观测值粗差的可区分性理论的研究和发展。针对观测值存在粗差的客观实际，出现了稳健估计(或称抗差估计)；针对法方程系数阵存在病态的可能，发展了有偏估计。与最小二乘估计相区别，稳健估计和有偏估计称为非最小二乘估计。

（1）观测数据检核，起始数据正确性的处理

（2）列出误差方程式或条件方程式，按最小二乘法原理进行平差

（3）平差结果的质量评定。按观测量相互间的关系，可分为相关的或不相关的平差。平差的方法有直接平差、间接平差、条件平差、附有条件的间接平差和附有未知数的条件平差等。

为了提高成果的质量，处理好测量中存在的误差问题，要进行多余观测，有了多余观测，势必在观测结果之间产生矛盾，测量平差目的就在于消除这些矛盾而求得观测量的最可靠的结果，并评定测量成果的精度。

测量平差是用最小二乘法原理处理各种观测结果的理论和计算方法。测量平差的目的在于消除各观测值间的矛盾，以求得最可靠的结果和评定测量结果的精度。任何测量，只要有多余观测，就有平差的问题。

由于测量仪器的精度不完善和人为因素及外界条件的影响，测量误差总是不可避免的。为了提高成果的质量，处理好这些测量中存在的误差问题，观测值的个数往往要多于确定未知量所必须观测的个数，也就是要进行多余观测。有了多余观测，势必在观测结果之间产生矛盾，测量平差的目的就在于消除这些矛盾而求得观测量的最可靠结果并评定测量成果的精度。测量平差采用的原理就是“最小二乘法”。

本书是在高等学校测绘学科教学指导委员会的指导下，以全国高等学校测绘学科教学指导委员会"十五"高职高专规划教材研讨会上制定的《测量平差》教学大纲为主要依据，在总结多年教学经验的基础上编写完成的。重点介绍了测量误差知识、测量平差的原理和基本平差方法，并结合一定的测量实例说明了测量平差方法的应用。本教材具有如下特点：

(1)每一章的前面给出了该章的教学目的，概述了章节的重点内容，既有利于教师教学，又便于学生的学习。

(2)深入浅出，通俗易懂，强调理论联系实际，突出基本理论和基本概念。

(3)遵循高职高专的特点，强调实用性和应用性，在理论体系完整的前提下，舍去了较为繁琐的推证，重点讲述平差原理和方法的实际应用。

(4)增加了线性方程组常用的几种解算方法，并用Visual Basic语言编写了相应的解算程序，与后续课《Visual Basic测绘程序设计》更好地相衔接。

(5)每一章节后都有一定数量针对性非常强的思考题和习题，便于学生做作业，加强对章节内容的理解。

参加本书编写的人员有：黄河水利职业技术学院靳祥升(第一章、第二章)，东南大学交通学院潘国锋(第三章)，武汉电力职业技术学院蒋紫蕊(第四章)，平顶山工学院魏亮(第五章、第六章)。全书由靳祥升统一修改定稿。

全书完成后，由高等学校测绘学科教学指导委员会责成武汉大学测绘学院陶本藻教授进行认真细致的审稿，提出了许多宝贵意见，修改后，通过了高等学校测绘学科教学指导委员会"十五"高职高专规划教材审定委员会的审定，作为测绘学科高职高专院校统编教材，供高等职业教育测绘类专业使用。在此，对陶本藻教授和教材审定委员会的各位专家表示感谢!在本书编写的过程中，杨中利老师提出许多宝贵的建议，在此表示感谢!同时对黄河水利出版社为本教材顺利出版给予的大力支持表示感谢。

由于编者水平有限，不当之处在所难免，热忱希望广大读者对本书中缺点错误给予批评指正。

编 者

2005年4月

前言

第1章 绪论

1.1 观测误差

1.2 测量平差的任务与内容

第2章 测量误差基本理论

2.1 偶然误差的分布规律

2.2 观测量的精度

2.3 观测向量的精度

2.4 协方差传播律

2.5 协方差传播律在测量中的应用

2.6 权与定权的常用方法

2.7 协因数和协因数传播律

第3章 测量平差基本原理

3.1 测量平差概述

3.2 测量平差原则

3.3 测量平差的数学模型

第4章 条件平差

4.1 条件平差原理（条件方程的线性化）

4.2 条件方程

4.3 法方程组成与解算

4.4 水准网条件平差

4.5 测角网条件平差

4.6 测边网条件平差

4.7 边角网条件平差

4.8 导线网条件平差

第5章 间接平差

5.1 问接平差原理

5.2 误差方程式

5.3 水准网间接平差

5.4 测角网间接平差

5.5 测边网间接平差

5.6 边角网间接平差

5.7 导线网间接平差

第6章 附有参数的条件平差

6.1 平差原理

6.2 水准网附有参数的条件平差

6.3 测角网附有参数的条件平差

6.4 测边网与边角网附有参数的条件平差

第7章 附有限制条件的间接平差

7.1 平差原理

7.2 水准网附有限制条件的间接平差

7.3 测角网附有限制条件的间接平差

7.4 测边网与边角网附有限制条件的间接平差

第8章 误差椭圆

8.1 误差椭圆参数、位差及点位方差的计算与应用

8.2 相对误差椭圆参数的计算与应用

参考答案

附录一 法方程的组成与计算检核

附录二 法方程解算——高斯约化法

参考文献2100433B

《测量平差基础》可作为高职高专测绘类专业的测量平差课程教学用书，也可供有关专业的工程技术人员学习参考。