非线性特征值问题广泛出现于数学、物理、力学和计算机图形学等一系列领域中。针对这些领域中提出的若干重要的大规模非线性特征值问题，充分利用其特殊性，提出和发展几个高性能的数值计算方法，并给出这些方法的理论分析，将有着重要的理论价值和广阔的应用前景，而且对推动我国矩阵计算这一领域的研究垮入世界先进行列有不可低估的作用。 2100433B

所谓最优化问题，就是寻找一个最优控制方案或最优控制规律，使系统能最优地达到预期的目标。在最优化问题的数学模型建立后，主要问题是如何通过不同的求解方法解决寻优问题。一般而言，最优化方式有离线静态优化方式和在线动态优化方式，而最优化问题的求解方法大致可分为四类：

1.解析法

对于目标函数及约束条件具有简单而明确的数学表达式的最优化问题，通常可采用解析法来解决。其求解方法是先按照函数极值的必要条件，用数学分析方法求出其解析解，然后按照充分条件或问题的实际物理意义间接地确定最优解。

这种方法适用于性能指标及约束有明显解析表达式的情况。其一般步是先用求导方法或变分法求出最优控制的必要条件，得到一组方程或不等式，然后求解这组方程或不等式，得到最优控制的解析解即为所求的最优控制。解析法大致可分为两大类。第一类，无约束时，采用微分法或变分法。第二类，有约束时，采用极大值原理或动态规划。

（1）变分法：当控制向量不受约束时，引入哈密顿函数，应用变分法可以导出最优控制的必要条件，即正则方程、控制方程、边界条件、横截条件。

（2）极大值原理：在用变分法求解最优控制问题时，是假定控制向量u(O)不受任何限制，即容许控制集合可以看成是整个P维控制空间开集，控制变分u是任意的，同时还要求哈密顿出数H对u连续可微，但在实际工程上，控制变量往往受到一定的限制，这时可以用极大值原理来求解最优控制问题，这种方法其实是由变分法引申而来的，但由于它能应用于控制变量u(t)受边界限制的情况，并且不要求哈密顿出数H对u连续可微，因此获得了广泛的应用。

（3）动态规划：极大值原理一样，是处理控制向量限制在一定闭集内的最优控制问题的有效数学方法，它把复杂的最优控制间题变为多级决策过程的递推函数关系，其基础和核心时最优性原理即在一个多级决策问题中无论初始状态和初始决策如何，当把其中的任何一级和状态再作为初始级和初始状态时，如下的决定对与这一级开始往后的多级决策过程的一部分必定仍然是一个最优决策。因此，利用这一最优性原理必然可把一个多级决策问题化为最优的单级决策问题并且本级决策与本级以前的任何决策无关，只与本级的初始位置和初始决策有关。对于连续系统用动态规划法求最优控制问题时，可以先把连续系统离散化，用有限差分方程近似代替连续方程，然后用离散动态规划法求解。

2.数值解法（直接法）

对于目标函数较为复杂或无明确的数学表达式或无法用解析法求解的最优化问题，通常可采用直接法来解决。直接法的基本思想，就是用直接搜索方法经过一系列的迭代以产生点的序列，使之逐步接近到最优点。直接法常常是根据经验或实验而得到的。

性能指标比较复杂或不能用变量显函数表示时，可以采用直接搜索法，经过若干次迭代搜索到最优点，数值计算法可以分为两大类：

（1）区间消去法，又称为一维搜索法，适用于求解单变量极值问题。主要有黄金分割法、多项式插值法等。

（2）爬山法，又称多维搜索法，适用于求解多变量极值问题。主要有坐标轮转法、步长加速法等。

3.解析与数值相结合的寻优方法（梯度型法）

是一种解析与数值计算相结合的方法。主要包括两大类：一种是无约束梯度法，如陡降法、拟牛顿法等。第二类是有约束梯度法，如可行方向法、梯度投影法。

4.网络最优化方法

这种方法以网络图作为数学模型，用图论方法进行搜索的寻优方法。

有两种途径，一是求出既满足微分方程又满足边界条件的精确解（如莱维法，纳维法）；二是当得不到精确解时，采用各种近似方法求解，例如有限元法、有限差分方法等数值方法和能量方法。出于工程实际的需要，人们对矩形板和圆板的研究较多。

内容简介

《薄壁曲梁线性和非线性分析理论》首先介绍了薄壁曲梁的通用线性分析理论，然后提出薄壁钢拱的稳定分析和曲梁非线性分析的完整理论；对常用截面的截面参数和非线性分析方程进行了推倒，对经典的问题进行了求解，然后提出弹塑性分析的方法；对几何和物理非线性分析过程中可能遇到的困难进行了详细的阐述，提出了解决途径。《薄壁曲梁线性和非线性分析理论》还介绍了曲梁试验研究的成果。在验证程序的基础上，对1890根曲梁进行了极限承载力分析，对计算结果进行了归一化分析，最后提出曲梁稳定性设计的公式。2100433B