近年来 ,快速多极方法(FMM)算法越来越多地应用于电磁场数值计算的各个领域 ,与传统的算法比较, 应用 FMM 算法来求解大尺寸电磁散射问题 ,可大大降低内存需要, 计算速度显著提高。FMM算法与边界元和有限元方法相结合, 来求解大型涡流场问题也取得了很好的计算效果。由于 FMM算法很适合于进行并行计算 ,采用并行 FMM 算法可以求解上百万个未知数的大型矩阵向量乘法运算。 大量的数值计算试验已经证明了 FMM 算法是一种非常有效的数值加速算法。

在集成电路互连线的分析与设计过程中, 需要计算互连线在空间中某些区域内的电磁场分布 , 在这种情况下,应用有限元方法求解电磁场问题需要对整个场域进行剖分。 由于集成电路互连线分布结构复杂,为获得较高的精度需要加密对场域或边界的剖分,这样计算机的内存占用和计算时间会急剧增加.。首先根据计算精度的要求把连续分布的场源进行离散化处理 ,然后通过静电类比分析,将求解三维准静态矢量磁位的问题转化为多体问题 ,进而利用快速多极方法来计算。该算法只需要对场源和需要计算的场域进行剖分, 大大降低了对计算机内存的要求, 提高了计算速度。通过对积分方程的离散和静电类比分析 ,推导出了应用多极加速方法计算磁矢位的公式 , 最后通过算例证明了算法的正确性和有效性。

矢量磁位积分方程的离散

根据电磁场数值分析理论 ,在研究连续分布的量的作用时,可以把它近似看成离散分布的量 ,考察其单个离散元的作用 ,如果问题是线性的,那么通过叠加的办法就能求得整体的效果。 对于各向同性媒质中的载流导体 ,电流密度矢量为

根据计算精度的要求 ,首先将导体剖分为 N个小体积单元,可以近似认为每个小体积单元内的电流密度为恒定, 经过这样的离散化 ,得到

在直角坐标系下 ,把电流密度矢量

那么

式中 :

矢量磁位静电模拟

设空间中体积单元

因为体积单元

M个静止电荷带电量相等，其电量为

比较（4）、（6）和（7）可以得到

式中:

矢量磁位示例计算

例 1:如图 1 所示 ,求载流导体 A 在其自身所在空间区域和导体 B 所在的空间区域的矢量磁位。载流导体 A 电流分布均匀, 电流密度就为

首先对载流导体 A 和 B 进行剖分,取剖分单元为立方体,分别采取 3 种不同的剖分密度计算, 即分别取体积单元的边长

分别采取不同剖分密度计算导体 A 、B 所在空间区域中部分场点的矢量磁位, 计算结果见表 1、表

2。表中

间的距离公式直接计算的结果, 其剖分密度为 a =0.025 μm ,将

结果进行比较。

FMM 计算结果与的相对误差为

以上两个例子可以证明, 经过积分方程离散和模拟分析, 应用 FMM 算法可正确地计算三维空间载流导体的矢量磁位, 计算误差可通过剖分密度进行控制。由多极算法的加速理论可知，当计算的粒子数很大时 ,该算法的加速性能将会得到很好的体现。

矢量磁位结论与下一步工作

通过积分方程离散和静电类比分析, 将求解准静态电磁场矢量磁位的问题转化为多体问题 ,利用 FMM 算法进行求解。提出的方法扩展了FMM 算法在准静态电磁场矢量磁位数值计算领域中的应用 ,下一步的工作将该算法用于片上互连线电感参数的计算 , 为快速提取互连线寄生参数寻找快速可行的算法。 2100433B

直观而言，磁矢势似乎不及磁场来得“自然”、“基本”，而在一般电磁学教科书亦多以磁场来定义磁矢势。以前，很多学者认为磁矢势并没有实际意义，只是人为的物理量，除了方便计算以外，别无其它用途。但是，詹姆斯·麦克斯韦颇不以为然，他认为磁矢势可以诠释为“每单位电荷储存的动量”，就好像电势被诠释为“每单位电荷储存的能量”。相关论述，稍后会有更详尽解释。

磁矢势的数值是相对的，相对于某设定数值。因此，学者会疑问到底储存了多少动量？不论如何，磁矢势确实具有实际意义。尤其是在量子力学里，于1959年，阿哈诺夫－波姆效应阐明，假设一个带电粒子移动经过某零电场、零磁场、非零磁矢势场区域，则此带电粒子的波函数相位会有所改变，因而导致可观测到的干涉现象 。越来越多学者认为电势和磁矢势比电场和磁场更基本。不单如此，有学者认为，甚至在经典电磁学里，磁矢势也具有明确的意义和直接的测量值。

磁矢势与电势可以共同用来设定电场与磁场。许多电磁学的方程可以以电场与磁场写出，或者以磁矢势与电势写出。较高深的理论，像量子力学理论，偏好使用的是磁矢势与电势，而不是电场与磁场。因为，在这些学术领域里所使用的拉格朗日量或哈密顿量，都是以磁矢势与电势表达，而不是以电场与磁场表达。

对于恒定磁场，由于▽·B=0(B的散度处处为0)，因此，磁感应强度可以表示为另一矢量场的旋度，即

上式中的矢量场A是矢量磁位．它满足方程

与电流密度的积分关系为

当电流体密度已知时，可以直接用比奥萨伐定律通过积分计算磁场，也可以先利用上式通过积分计算矢量磁位，再求矢量磁位旋度得到磁感应强度。该式的形式简单，因此在很多情况下，通过矢量磁位计算磁场要比直接积分计算磁场容易。当电流为面分布或线分布时，矢量磁位分别为

在静电场中，由于处处有▽×E=0，因此可以定义标量电位E=-▽Φ。而在恒定磁场中的有源区，▽×B=μ₀J，因此有源区的磁感应强度不能表示为标量场的梯度。但在电流密度等于0的无源区，磁感应强度满足

因此在无源区域，磁感应强度也可以用标量场的梯度表示

式中

对上式两端的矢量函数求散度

并考虑

可见，无源区中的标量磁位也满足拉普拉斯方程。在无源区对

由于对于恒定磁场有，因此为了使线积分保持单值，线积分路径必须在单连通区域内。 2100433B

矢量之间的运算要遵循特殊的法则。矢量加法一般可用平行四边形法则。由平行四边形法则可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等。矢量减法是矢量加法的逆运算，一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量。A-B=A (-B)。矢量的乘法。矢量和标量的乘积仍为矢量。矢量和矢量的乘积，可以构成新的标量，矢量间这样的乘积叫标积；也可构成新的矢量，矢量间这样的乘积叫矢积。例如，物理学中，功、功率等的计算是采用两个矢量的标积。W=F·S，P=F·v，物理学中，力矩、洛伦兹力等的计算是采用两个矢量的矢积。M=r×F，F=qv×B。

我国各地兴建的许多地下停车场，不仅安装大量光源，并且24小时照明，浪费了大量电能。矢量照明的应用即当有人、车出入需要照明时，系统会在高亮状态下运行，反之则保持节电的低亮状态，比传统照明方式节电80%以上。

矢量照明的原理即矢量图像的原理。矢量图像由被称为矢量的数学对象定义的线条和曲线组成。 矢量根据图像的几何特性描绘图像。 例如，矢量图形中的靴带由特定的宽度和长度定义，设置在特定位置，并以特定颜色填色。 不论是移动靴带、调整其大小，还是更改其颜色，都不会降低图形的品质。同样光束也可以根据不同的照明需要和照明环境、照明风格设计进行调整，即达到了视觉美化效果，也保证了光源质量。

传统照明只有一个单一的亮度指标，只调明暗，而矢量照明则是一个多维度、多参量照明。相对传统照明而言，它的优势更加明显：不仅能调明暗，还能调色温、色调，如可以根据个人喜好和场所需要调成偏绿、偏蓝、偏红等不同风格。LED光源出现后，把照明的概念拓展了，不光是一个照亮的问题，更重要的是发挥了一种环境渲染、改变氛围、增加情趣、调节情绪、改变心情的功能，从而给照明灯具赋予了新的内涵。2100433B