本项目于2010年8月批准立项，2011年1月开始实施，计划2013年12月结题。项目研究内容包括四个方面：三角网格曲面上曲线黎曼测地推进的数值算法、面向高效加工特征的曲面分割方法、加工过程约束建模和高效加工刀具轨迹规划方法、软件开发和工程应用。项目研究按原计划实施，主要完成了以下几项研究工作：(1)提出了三角网格曲面上直纹线多权重度量的测地推进数值算法，应用于有限元优化后输出的整体叶轮曲面模型和飞机结构件细碎曲面模型的直纹化，将原有的点铣加工改进为线接触的侧铣加工，提升了加工效率和表面质量；(2)提出考虑加工过程中刀具光顺性和刀具刚度因素的线接触加工刀具轨迹多目标优化模型，突破了现有线接触轨迹规划方法仅仅考虑减少逼近误差而忽略加工过程约束的局限，CIRP Fellow、法国Bernard A教授发表综述性论文总结了30年来线接触加工领域的创新性工作，其中引用了我们的工作；(3)提出了离散位置连续小线段向曲率连续轨迹转化的刀具轨迹双样条实时平滑方法，解决了二阶连续、误差约束、参数化同步等难题，突破了现有实时平滑方法仅做到一阶连续的局限；(4)研究了反求出的离散三角网格曲面上的螺旋轨迹规划方法，减少了加工轨迹中的拐角和机床振动，应用于火箭贮箱箱底曲面的整体铣削；(5)提出了五轴机床旋转轴精度和整体叶轮叶片曲面加工精度的原位测量方法，实现了叶轮曲面加工误差的原位补偿；(6)开发了整体叶轮线接触加工和插铣加工的专用软件，克服了现有叶轮加工CAM软件仅能处理直纹面叶片五轴侧铣加工的局限，提供了商用插铣软件没有的快速退刀和切宽控制功能，应用于航空发动机整体叶轮和火箭发动机变螺距诱导轮的五轴加工，提升加工效率3-4倍，成套已经应用于发动机研制和生产。(7) 在项目的资助下，已发表论文8篇，其中SCI收录4篇，EI收录4篇，递交SCI论文2篇、国际会议论文1篇，正在撰写SCI论文1篇；申请发明专利5项，已授权2项；申请软件著作权2项，其中1项通过上海市软件评测中心的成果鉴定。 2100433B

以复杂三角网格曲面五轴高效加工轨迹规划为研究目标，提出基于离散曲面上曲线黎曼测地推进的高效曲面加工理论和方法，引入加工过程约束，获取三角网格曲面的内蕴几何信息，规划出高效加工轨迹，为测量-数控加工一体化、薄壁曲面零件的闭环自适应加工、有限元优化设计与数控加工的直接集成等领域提供理论和技术基础。.研究内容：1）定义反映刀具有效切削宽度的黎曼度量，研究三角网格曲面上黎曼度量意义下曲线的测地推进算法，获得曲面上与数控加工相关的内蕴几何信息，突破传统方法中把三角网格曲面问题简化为平面问题处理的局限性；2）研究刀具轨迹对加工过程动态特性和物理因素的影响机理和仿真模型，把相关约束引入黎曼测地推进过程中，使刀具轨迹同时满足几何约束和加工过程约束；3）在测地推进基础上，将平面域高效轨迹规划方法推广到曲面，以提高平均进给率、稳定切削力和减少刀具磨损为目标，研究面向五轴高效加工的轨迹规划方法。

曲面上的曲线设计在制造几何学、机器人路径规划和CAD/CAM等领域具有重要地位。项目将欧氏空间中的经典德布尔算法拓展到弯曲空间，形成与经典B样条曲线具有统一表示形式的、不依赖于网格参数化的曲面上自由曲线表达形式- - 测地B样条曲线。提出三角网格曲面上测地线的延长线概念和计算方法，采用测地误差几何补偿策略，进行测地B样条插值和交互设计方法研究，建立测地B样条曲线设计理论与方法，形成一种新的网格曲面上曲线的交互设计框架；提出以三角面片为度量单元的最小充分计算区域概念，研究曲面上点集的测地凸包子域的计算方法，使曲线生成计算量不依赖于父网格模型的规模，为测地B样条曲线的工程化应用提供支撑；基于离散微分算子，研究测地B样条曲线形状保持的几何属性表征与所需满足的充要条件，阐明测地B样条曲线形状保持性与对曲面形状适应性的协调机制，形成曲面上曲线的设计重用方法，为弯曲空间的形状设计与重用奠定基础。

曲面上的曲线设计在 CAD/CAM、制造几何学中扮演着越来越重要的角色，广泛应用于刀具轨迹生成、机器人路径规划、曲面求交、曲面分割等领域，以及柔性制品的交互设计系统，是曲面空间形状设计的基础。为解决流形曲面上的曲线设计问题，将欧氏空间中的德布尔算法拓展到曲面空间，提出测地B样条的概念，在一下几个方面进行了较为深入的研究： 1）提出一种离散化测地线延长线计算方法。以网格曲面的拓扑邻接关系为基础，其计算量仅与延长线所经过的三角面个数有关，而与网格模型的整体规模无关，因而算法效率高。以该算法为基础，拓展出经过给定源点和初始方向的离散化测地线生成方法。2）针对曲线迁移重用过程中存在兴趣区域交互选取的问题，提出角度约束路径算法。该算法的计算量仅与两顶点间的局部区域有关，时间复杂度方面优于Dijkstra最短路径法。3）提出一种在网格曲面上计算点到曲线最近距离的方法。将经典B样条曲线的节点插入算法拓展到曲面空间，把测地B样条曲线分解为分段Bézier曲线的组合，利用拓展德卡斯特里奥算法的中间结果计算曲线的导矢，以此为基础，将欧氏空间中计算点在曲线上正交投影点的算法拓展到曲面空间，给出曲面空间中计算点在曲线上正交投影点计算方法，点与其对应正交投影点之间的测地距离即为点到曲线的最短距离。4）借助于测地B样条的概念，提出一种流形网格曲面上曲线等距线的计算方法。首先采用节点插入技术将源曲线分解为分段Bezier曲线，并进行线性化逼近，通过曲线细分策略使其误差控制在给定的容差1之内；提出一种给定源点和初始方向的离散化测地线构造算法，以此算法为基础，按照顶点等距方法，获得源曲线的初始等距线；以初始等距线作为控制多边形并适当插入一些顶点，构造满足给定容差2的G1连续分段Bezier曲线作为源曲线的等距线。等距曲线的整体逼近误差由1和2之和构成，因而可以实现误差的全局控制。5）提出一种流形网格曲面上曲线几何变换方法，包括：将欧氏空间中的对称定义拓展到曲面空间，提出了广义镜像的概念并给出了算法实现；提出一种流形网格曲面上曲线阵列复制方法，达到曲线快速、高效设计重用的目的；进一步将曲线特征拓展到三维自由形状特征，提出网格曲面上自由形状特征的设计重用方法。6）提出一种利用重用前后曲线控制顶点的归一化测地极坐标，在参数空间内进行形状匹配的曲线形状保持性评价方法，具备平移、旋转和缩放不变性。

本项目按照任务书要求研究三角网格模型上基于精确测地线度量的Voronoi 图及其应用。在国际上首次提出二维流形三角网格曲面上基于精确测地线度量的Voronoi图构建方法，并分析给出了测地线度量下二维曲面上Voronoi图的特殊拓扑性质，理论研究工作发表在IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence和Theoretical Computer Science国际著名期刊上。在应用上，基于计算几何算法，将草图界面技术引入到数字媒体的处理过程中，提出了基于手绘草图的视频创作和三维几何建模技术，为表达连续性的设计概念和创新思维提供了新的工具。一系列应用研究工作发表在IEEE Transactions on Multimedia、IEEE Transactions on Automation Science and Engineering、IEEE Computer Graphics and Applications、Eurographics 2011、Computer in Industry、Computer-Aided Design、Computer Aided Geometric Design等国际著名期刊上。在此基础上，搭建了二维流形网格曲面上构建Voronoi图的演示平台，连同精确测地线的源代码一起发布在互联网上，已经被美国、新加坡和香港等地的学者在ACM SIGRAPH、IEEE Transactions on Multimedia、IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing、Computer Graphics Forum、Computer-Aided Design、Computer Aided Geometric Design、Journal of Computational and Applied Mathematics、Graphical Models等国际著名期刊论文中所关注。研究成果发表论文17篇，其中SCI期刊论文13篇，SCI影响因子总和19.68，平均单篇SCI影响因子1.514，其中项目负责人作为第一作者8篇、第二作者5篇；申请中国发明专利10项，已授权5项，获2011年国家技术发明奖二等奖一项（排名第三）。