欧几里得的证明

证明:

假设素数只有有限个，按照大小顺序，.分别记为：

设所有乘积加1为：

考虑s是什么？

如果s是素数，

如果s是合数，s不能被已知素数整除。得出矛盾，说明原来假设素数是有限的是错误的。证毕。

【初等数论】（u杜德利著，科学出版社）

,一般证明

证明：

假设素数有限，按照大小顺序，分别记为：

设：

w与所有素数互素。

问：

如果w是素数，

如果是合数，不存在与所有素数互素的合数（因为复合数至少有两个素因数）。

【素数个数问题三种新证法】（中等数学）2100433B

数学家把自然数按照乘法性质分为三类：

一，自然数“1”。

二，素数，就是没有比自身小的素数可以整除，例如2,3,5，....

三，复合数，至少有两个素因数，例如：4,6,8,9,10,12,15，....

素数是无限的还是有限的？两千年前的古希腊数学家欧几里得证明了这个问题，被认为是经典之作。以后又出现十几种证明方法。例如欧拉的证明。

素数判定，判断给定的正整数是否为素数。

又称素性判定。这是一个古老而基本的数论问题，由于与密码学的密切关系而成为当今计算数论的重要课题。一个古老的素性判定法是试除法。因为整数N＞1是素数的充分必要条件是它不能被任何不大于N1/2的素数整除，因而可用所有不大于N1/2的素数试除N来判定N是否为素数。这个方法的计算量不超过C×2(lnN)/2，式中C是一个正常数，因而这方法对大的N是不可行的。20世纪70年代以来人们基于同余理论、代数数论、椭圆曲线（见代数曲线）和概率论的结果提出了各种不同的素数判定方法和快速算法，借助于现代计算技术找出了许多大素数，其中有许多梅森素数（见梅森数），也有其他形式的素数。例如：2000年D.S.斯考脱发现169 719×2557 557＋1是167 847位素数，但不是梅森数。 2100433B

圆周上相邻的质数域整数之和全部为素数的圆谓之素数圆。

基础质数域通式=2[N 1]。基础质数域最大倍数通式=4[N 1]。孪素对圈定于{4[N 1]}内。

如：[基础质数域10]的素数圆[....10 3 8 5 6 74 9 2 1...]圈定的孪素对[13 11]在[20]内。2100433B