在实际系统的数值模拟或建模中，随着模型参数的变化，误差分析与模型输出的变化有关。

例如，在作为两个变量

在数值分析中，误差分析包括前向误差分析和后向误差分析。

误差分析前向误差分析

前向误差分析涉及函数

误差分析后向误差分析

后向误差分析涉及近似函数

后向误差分析，其理论由詹姆斯·威尔金森（James H. Wilkinson）提出和推广，可用于确定实现数字函数的算法在数值是否稳定。方法表明，尽管由于舍入误差而导致的计算结果不完全正确，但这是一个精确的解决方案。 如果所需的扰动小，按照输入数据的不确定性的顺序，则结果在某种意义上与数据“应得的”一样准确。 然后将算法定义为向后稳定。 稳定性是对给定数值程序的舍入误差敏感度的量度;；相比之下，给定问题的函数的条件数表示函数对其输入中的小扰动的固有灵敏度，并且独立于用于解决问题的实现。

物理化学以测量物理量为基本内容，并对所测得数据加以合理的处理，得出某些重要的规律，从而研究体系的物理化学性质与化学反应间的关系。

然而，在物理量的实际测量中，无论是直接测量的量，还是间接测量的量（由直接测量的量通过公式计算而得出的量），由于测量仪器、方法以及外界条件的影响等因素的限制，使得测量值与真实值（或实验平均值）之间存在着一个差值，这称之为测量误差。

研究误差的目的是：在一定的条件下得到更接进于真实值的最佳测量结果；确定结果的不确定程度；据预先所需结果，选择合理的实验仪器、实验条件和方法，以降低成本和缩短实验时间。因此我们除了认真仔细地做实验外，还要有正确表达实验结果的能力，这二者是同等重要的。仅报告结果，而不同时指出结果的不确定程度的实验是无价值的，所以我们要有正确的误差概念。

在数学中，误差分析是对解决问题可能存在的错误或不确定性的种类和数量的研究。 这个问题在数值分析和统计等应用领域尤为突出。

误差分析全球定位系统

使用全球定位系统计算的误差分析对于了解GPS的工作原理以及了解应该预期的幅度误差很重要。 全球定位系统对接收机时钟误差和其他影响进行修正，但仍然存在未纠正的残差错误。 全球定位系统（GPS）由美国国防部（DOD）于七十年代创建。 它已经被美军和公众广泛地用于导航。

误差分析分子动力学模拟

在分子动力学（MD）模拟中，由于相空间或不经常发生的事件的采样不足，存在误差，这导致了测量中随机波动引起的统计误差。

对于波动特性A的一系列M测量，平均值为：

当这些测量是独立的时候，平均值的方差是：

其中

然后我们可以使用自动相关函数来估计误差。

误差分析科学数据验证

测量通常具有少量的误差，同一项目的重复测量通常会导致读数略有不同。 可以分析这些差异，并遵循一定的已知数学和统计特性。一般来说，误差分析通常不足以证明数据被伪造或制造，但它可能提供必要的支持证据，以证实怀疑不当行为。

误差分析法是一个量的近似值与精确值之差称为误差或绝对误差。绝对误差与精确值之比称为相对误差，它反映近似值的近似程度。误差分析本来是为整理天文学、测量学等方面的观测值的需要而产生的。但是随着电子计算机的发展，使大规模的计算成为可能。所以在现代数值计算中，对误差的大小及传播进行分析已成为绝对必要的工作。这是误差分析的中心研究课题。误差按其来源可分为模型误差、测量误差、截断误差和舍入误差。由模型的局限性引起的误差称为模型误差。

由于测量工具不准确和测量时由随机干扰引起的误差叫做测量误差。截断误差是计算过程中，使用的近似计算公式与原表达式之间的误差。舍入误差是在计算步骤中，将所得数值舍入成某有限位数所产生的误差。在分为若干步骤的计算中，每步计算都要用到上面步的计算结果。这时，若前一步的误差对后一步的影响变得较小，而且随着计算的继续进行，其影响逐渐消失，则计算是稳定的。反之，若前一步误差对后一步误差影响增大，误差逐步积累。则计算结果越来越远离正确的答案，以致面目皆非。例如，在微分方程数值解法中，计算格式的稳定性是非常重要的分析内容。不稳定的格式根本不能用于实际计算。 2100433B

全书共分10章，内容包括：误差分析与数据处理基础、测量误差分布及其检验、随机误差及其特征量估计、系统误差处理、测量列中异常数据的剔除、误差的合成与分配、最小二乘法及其应用、回归分析、测量不确定度评定、基于Excel的误差分析与数据处理等。为加强误差分析、数据处理及测量不确定度知识的实践应用教学，本书在各章节中穿插了统计分析软件DPS在实际问题中的解决方案及应用实例，并在第10章集中介绍了Excel电子表格在误差分析与数据处理中的应用。

全书共分10章

第1章 误差分析与数据处理基础 内容包括测量及其分类、测量误差概述、测量精度、有效数字、修约规则、数据运算规则、DPS简介等。

第2章 测量误差分布及其检验 内容包括测量误差分布、误差分布的分析与判断、误差分布的统计检验等。其中，在测量误差分布一节中，介绍了基于DPS进行误差分布的概率计算及临界值计算；在误差分布的分析与判断一节中，介绍了基于DPS作测量点列图和统计直方图；在误差分布的统计检验一节中，介绍了基于DPS实现"_blank" href="/item/斯米尔诺夫">斯米尔诺夫检验、达戈斯提诺检验、夏皮罗-威尔克检验及偏-峰态系数检验等。

第3章 随机误差及其特征量估计 内容包括随机误差概述、等精度测量特征量估计、不等精度测量特征量估计、测量的极限误差等。其中，在等精度测量特征量估计一节中，介绍了基于DPS的特征量估计方法。

第4章 系统误差处理 内容包括系统误差概述、系统误差的发现、系统误差的减小和消除等。其中，在系统误差的发现一节中，介绍了基于DPS的残余误差观察法及"para" label-module="para">

第5章 测量列中异常数据的剔除 内容包括粗大误差概述、异常数据判别准则、基于DPS的异常数据剔除等。

第6章 误差的合成与分配 内容包括误差合成、微小误差取舍准则、误差合成的应用、误差分配等。误差分析与数据处理前言 第7章 最小二乘法及其应用 内容包括概述、最小二乘法原理、最小二乘问题求解、最小二乘问题精度估计、组合测量数据处理、DPS在最小二乘处理中的应用等。

第8章回归分析内容包括一元线性回归、两个变量都具有误差时线性回归方程的求解、多元线性回归、一元非线性回归等。其中，在一元线性回归、多元线性回归及一元非线性回归中，均介绍了基于DPS的解决方案及应用实例。

第9章 测量不确定度评定 内容包括测量不确定度概述、标准不确定度的评定、合成标准不确定度、扩展不确定度、测量不确定度报告、测量不确定度评定举例等。

第10章 基于Excel的误差分析与数据处理 内容包括Excel应用基础、基于Excel的误差分布分析与判断、基于Excel的系统误差检验、基于Excel的测量数据统计特征量估计、基于Excel的最小二乘处理、基于Excel的回归分析、Excel在测量不确定度评定中的应用等。其中，在基于Excel的误差分布分析与判断一节中，介绍了基于Excel作测量点列图和统计直方图；在基于Excel的系统误差检验一节中，介绍了基于Excel的残余误差观察法及"_blank" href="/item/回归分析">回归分析中，介绍了基于Excel函数的回归分析、基于趋势线的回归分析及基于数据分析工具--回归分析的回归问题处理。

附录部分介绍了一些矩阵基础知识和有关附表。

本书巧妙地引入统计分析软件DSP及Microsoft Office办公软件的Excel电子表格进行误差分析与数据处理，使教材内容更丰富，理论联系实际，从而使教学过程更形象，便于学生对理论知识的消化理解，并易于在工作中学以致用。

中国工程院院士、中国计量科学研究院首席科学家张钟华研究员在百忙之中为本书撰写了序言，在此深表感谢！

在本书的编写过程中，参考和引用了国内外有关研究者的部分研究成果，参考文献中均已一一列举。本书的育成，得益于从他们的著作及研究成果中吸取了丰富的养分，在此向他们表示衷心的感谢！

由于作者水平有限，书中错误与不妥之处在所难免，恳请广大读者批评指正。

编 者2010年3月

光固化快速成型的误差分析光固化快速成型技术的基本原理是将任意复杂的三维CAD模型转化为一系列简单的二维层片,逐层固化粘结,从而获得三维模型"按照成型机的成型工艺过程,可以将产生成型误差的因素按概述图所示分类"。

2.前期数据处理误差

由于成型机所接收的是模型的轮廓信息,所以加工前必须对其进行数据转换"1987年,3DsystSnel公司对任意曲面CAD模型作小三角型平面近似,开发了TsL文件格式,并由此建立了从近似模型中进行切片获取截面轮廓信息的统一方法,延用至今[1]"多年以来,STL文件格式受到越来越多的CAD系统和设备的支持,其优点是大大简化了CAD模型的数据格式,是CAD系统与RP系统之间的数据交换标准,它便于在后续分层处理时获取每一层片实体点的坐标值,以便控制扫描镜头对材料进行选择性扫描"因此被工业界认为是快速成型数据的准标准,几乎所有类型的快速成型系统都采有STL数据格式,极大地推动了快速成型技术的发展"对三维模型进行数据处理,误差主要产生于三维CAD模型的STL文件输出和对此STL文件的分层处理两个过程中"下面将分别论述STL格式文件转换和分层处理对成型精度的影响"

2.1几文件格式转换误差

STL几文件的数据格式是采用小三角形来近似逼近三维CAD模型的外表面,小三角形数量的多少直接影响着近似逼近的精度.显然,精度要求越高,选取的三角形应该越多"一般三维CAD系统在输出STL格式文件时都要求输入精度参数,也就是用STL格式拟合原CAD模型的最大允许误差"这种文件格式将CAD连续的表面离散为三角形面片的集合,当实体模型表面均为平面时不会产生误差,.但对于曲面而言,不管精度怎么高,也不能完全表达原表面,这种逼近误差不可避免地存在"如制作一圆柱体,当沿轴线方向成型时,如果逼近精度有限,则明显地看到圆柱体变成了棱柱体,如图1.2所示"

解决方法：清除这种误差的根本途径是直接从CAD模型获 取制造数据,但是实用中尚未达到这一步"现有的办法只能在对CAD模型进行ST职洛式转换时,通过恰当地选择精度参数值减少这一误差,这往往依赖于经验"。

2.2分层处理对成型精度的影响

分层处理产生的误差属于原理误差,分层处理以S几文件格式为基础,先确定成型方向,通过一簇垂直于成型方向的平行平面与STL文件格式模型相截,所得到的截面与模型实体的交线再经过数据处理生成截面轮廓信息,平行平面之间的距离就是分层厚度"由于每一切片层之间存在距离,因此切片不仅破坏了模型表面的连续性,而且不可避免地丢失了两切片层间的信息,这一处理造成分层方向的尺寸误差和面型精度误差"。

(1)分层方向尺寸误差分析

进行分层处理时,确定分层厚度后,如果分层平面正好位于顶面或底面,则所得到的多边形恰好是该平面处实际轮廓曲线的内接多边形;如果汾层平面与此两平面不重合,即沿切层方向某一尺寸与分层厚度不能整除时,将会引起分层方向的尺寸误差"

1)增加分层数量!减小分层厚度

为了获得较高的面型精度,应尽可能减小分层厚度,但是,分层数量的增加,使制造效率显著降低"同时,层厚太小会给涂层处理带来一定的困难"另外,自适应性切片分层技术能够较好的提高面型精度,是解决这一问题的较为有效途径"

2)优化成型制作方向

优化成型制作方向,实质上就是减小模型表面与成型方向的角度,也就是减小体积误差"

3成型加工误差

3.1机器误差

机器误差是成型机本身的误差,它是影响制件精度的原始误差"机器误差在成型系统的设计及制造过程中就应尽量减小,因为它是提高制件精度的硬件基础"。

(l)工作台Z方向运动误差

工作台Z方向运动误差直接影响堆积过程中的层厚精度,最终导致Z方向的尺寸误差;而工作台在垂直面内的运动直线度误差宏观上产生制件的形状!位置误差,微观上导致粗糙度增大"对于CPS350成型机来说,所采用的系统在500mm范围内的全程定位精度为0.03mm,双向重复定位精度为0003mm。

(2)X.Y方向同步带变形误差

X.Y扫描系统采用X,Y二维运动,由步进电机驱动同步齿形带并带动扫描镜头运动在定位时,由于同步带的变形,会影响定位的精度,常用的方法是采用位置补偿系数来减小其影响CPS35O成型机出厂后进行位置补偿,其重复定位精度可达到005mm。

(3)XY方向定位误差

扫描过程中,X.Y扫描系统存在以下问题:

1)系统运动惯性力的影响

对于采用步进电机的开环驱动系统而言,步进电机本身和机械结构都影响扫描系统的动态性能"-XY扫描系统在扫描换向阶段,存在一定的惯性,使得扫描头在零件边缘部分超出设计尺寸的范围,导致零件的尺寸有所增加"同时扫描头在扫描时,始终处于反复加速减速的过程中,因此,在工件边缘,扫描速度低于中间部分,光束对边缘的照射时间要长一些,并且存在扫描方向的变换,扫描系统惯性力大,加减速过程慢,致使边缘处树脂固化程度较高"。

2)扫描机构振动的影响

成型过程中,扫描机构对零件的分层截面作往复填充扫描,扫描头在步进电机的驱动下本身具有一个固有频率,由于各种长度的扫描线都可能存在,所以在一定范围内的各种频率都有可能发生,当发生谐振时,振动增大,成形零件将产生较大的误差"。

3.2光固化成型误差

(1)光斑直径产生的误差

这一固化成型特点,使所做出的零件实体部分实际上每侧大了一个光斑半径,零件的长度尺寸大了一个光斑直径,使零件产生正偏差,虽然控制软件中采用自适应拐角延时算法,但由于光斑直径的存在,必然在其拐角处形成圆角,导致形状钝化,降低了制件的形状精度,而使得一些小尺寸制件无法加工"由上述分析可知,如果不采用光斑补偿,将使制件产生正偏差"为了消除或减少正偏差,实际上采用光斑补偿,使光斑扫描路径向实体内部缩进一个光斑半径"。

4.后处理产生的误差

从成型机上取出已成型的工件后,需要进行剥离支撑结构,有的还需要进行后固化、修补、打磨、抛光和表面处理等,这些工序统称为后处理"这类误差可分为以下几种:

(1)工件成型完成后,去除支撑时,可能表面质量产生影响,所以支撑设计时要合理,不多不少,一般支撑间距为6nnn"支撑的设计与成型方向的选取有关,在选取成型方向时,要综合考虑添加支撑要少,并便于去除等"。

(2)由于温度!湿度等环境状况的变化,工件可能会继续变形并导致误差,并且由于成型工艺或工件本身结构工艺性等方面的原因,成型后的工件内总或多或少地存在残余应力,这种残余应力会由于时效的作用而全部或部分地消失,这也会导致误差"设法减小成型过程中的残余应力有利于提高零件的成型精度"。

(3)制件的表面状况和机械强度等方面还不能完全满足最终产品的要求"例如制件表面不光滑,其曲面上存在因分层制造引起的小台阶、小缺陷,制件的薄壁和某些小特征结构可能强度不足、尺寸不够精确!表面硬度或色彩不够满意"采用修补、打磨、抛光是为了提高表面质量,表面涂覆是为了改变制品表面颜色提高其强度和其它性能,但在此过程中若处理不当都会影响原型的尺寸及形状精度,产生后处理误差"。

5.结论

如何控制光固化成形工艺的精度是众多研究者和学者必须考虑的一个问题。尽管可以通过多种方法来提高制件的成形精度，比如直接对三维 CAD 模型进行分层以避免 STL 文件转换过程中造成的误差和通过改进激光扫描方式也可以减小制件的内应力和形变量来提高制件的精度等方法都可以实现对精度的控制。但是在整个成形工艺过程中，其工艺路线和工艺参数对制件的精度也存在着很大的影响，仍然需要进一步的研究。另外，光固化快速成型工艺的加工成本、生产效率及制件性能也需要在整个成形过程中考虑的重要因素。