曲面上的相交论可以概括为，存在唯一的一个对称双线性配对，并通过下述要求来法化，即对于两条横截相交的非异曲线恰是与的交点个数。证明此定理的主要工具是Bertini定理，它使我们对任意两个除子，可以在它们的线性等价类中移动它们，使其成为横截相交的不可约非异曲线的差。
高维时的情况相当复杂，相应的活动引理显得弱了一些，所以需要一个较强的法化要求。结果发现展开相交理论的最适当的方式原来是同时对所有的簇都进行讨论，连态射的相伴函子式映射及，也作为结构部分被包括进去。
设X为k上任意簇，上一个余维r的环元，是指X的余维r的闭不可约子簇生成的自由Abel群中的一个元。故可将一个环元写为，为子簇，。有时要论及一个有用的概念，即与闭子概型相伴的环元。设Z是余维r的闭子概型，是Z的所有余维r的不可约分支，定义为相伴于Z的环元，其中是Z在的广点的局部环的长度。
设为簇间的态射，Y为X的子簇．如果，令，如果，则函数域是的有限扩张域，令
由线性扩张便定了X上环元的群到X'上环元的群的同态。
现在来定义有理等价性，当是上线性等价的Weil除子时，称为X上有理等价的环元。一般的情形，对所有的子簇V，及所有上线性等价的Weil除子让生成了等价关系。在这个等价关系下，我们定义了X上环元的有理等价性。特别地，当X本身是正规时，余维l的环元的有理等价性与Weil除子的线性等价性一致。
对每个r，令是X上余维r的环元的有理等价类群。以表示分次群，其中。注意，时。还要注意到，当X为完全簇时，有一个自然的群同态，即次数，它从到Z，由定义。
在一个给定的簇类上，一个相交理论由对每个及每个给出一个配对构成，这些配对应满足下面列m的公理。如果，我们以表示其相交环元类。
在叙述公理前，还要给个定义，对中簇间的任意态射，假定仍在中，则可定义一个同态如后：对子簇，定义
其中分别是到的投射，是的图，将它看为上的环元。
上述诸元必须满足下列要求。
A1. 相交配对使对每个成为一个交换的可结合分次环，并具幺元，称为X的周环。
A2. 对中簇的任意态射是环同态，如是另一态射，则。
A3. 对中簇的任意本征态射是分次群同态(移动了分次)，如果是另一个态射，则。
A4. 投射公式。若是本征态射，，则
A5. 化为对角线。如果为X上环元，为对角态射，则
A6. 局部特性。如果Y与Z是X的子簇，它们正常相交(即的每个不可约分支的余维等于)，则可记
其中∑是对的所有不可约分支取和，整数仅依赖于的广点在X中的邻域。称为Y及Z在的局部相交重数。
A7. 法化。设Y是X的子簇，Z是与Y正常相交的有效Cartier除子，则恰好是Y上Cartier除子相伴的环元，其中在Y上是由Z的局部方程限制在Y上定义的子概型。(它特别表明，横截相交的非异子簇的重数为1)。
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