相似三角形的相似条件

1、平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似；

2、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似；

3、如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似；

4、如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似；

5、对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

离心泵叶轮的相似条件

1、流量相似关系

几何相似的泵叶轮出口排挤系数相等

如果尺寸比值不是很大，满足相似三条件的离心泵ηv = η’v

即可得：

2、扬程相似关系

3、功率相似关系

上式表达了满足相似三条件的离心泵各主要性能参数间的关系，称为相似三定律。

相似理论

相似理论在泵的设计和实验中广泛应用。通常所说的按模型换算进行相似设计和进行模型实验就是在相似理论指导下进行的。按相似理论可以把模型实验结果换算到实型泵上，也可以将实型泵的参数换算为模型的参数进行模型设计和实验。

用小的模型进行实验要比真机实验经济得多，而且，因受到条件的限制，当真机的尺寸过大，转速过高或抽送诸如高温等特殊液体时，往往难以进行真机实验，只能用模型实验代之。

①几何相似

两台泵在结构上完全相仿，对应尺寸的比值相同，叶片数、对应角相等。

②运动相似

两台泵内对应点的液体流动相仿，速度大小的比值相同、方向一致（即速度三角形相似）。

运动相似是几何相似和动力相似的必然结果。

③动力相似

两台泵内对应点的液体惯性力、粘性力等的比值相同。

满足以上3条，两台泵即为相似。通常两台泵只要满足几何相似和运动相似，就认为满足相似条件。

相似定律

符合相似条件的两台泵，可近似地认为两相似泵的容积效率、水力效率、机械效率相等，这时有以下各式成立，称为相似定律。2100433B

相似条件是模型实验的基础，一个物理过程，总有很多的物理量参与变化，如果物理过程不是随机现象，这些量之间就必然存在着相互制约的关系，这种关系可以用数学基本方程组表达出来。 如果两个现象参与的物理量一一对应并且性质相同，又同时满足同一方程组，它们的两个对应点在对应时间和对应空间位置上，其对应的物理量成比例，在对模型和实物的两个方程做相似变换时（即所有变数都用和它成比例的量代替），每一个方程的各项都可以得到一组相似常数集团和物理量集团。前者称为“相似指标”；后者叫做“相似判据”、“相似不变量”或“相似准则”。

若两个现象相似，必须满足一定条件，这些条件称为相似定律（law of similarity）或相似原理：①若两个现象相似，其相似指标等于1，或对应时间、对应空间及对应物理量组成的相似判据相等，称为相似第一定律。②若两个现象相似，量纲为一的相似判据方程相等，称为相似第二定律。③模型与实物相似的充分条件是单值量构成的量纲为一的判据相等。

相似原理相似第一定理

两个相似的流动现象都属于同一类物理现象，它们都应为同一的数学物理方程所描述。流动现象的几何条件（流场的边界形状和尺寸）、物性条件（流体密度、粘性等）、边界条件（流场边界上物理量的分布，如速度分布、压强分布等），对非定常流动还有初始条件（选定研究的初始时刻流场中各点的物理量分布）都必定是相似的。这些条件又统称为单值条件。如前所述，两个流动现象力学相似，则在空间对应点和对应的瞬时诸物理量各自互成一定的比例，而这些物理量又必须满足同一的微分方程组，因此各量的比例系数，即相似倍数，不能是任意的，而是彼此制约的 。

综上可得到结论：彼此相似的物理现象必须服从同样的客观规律，若该规律能用方程表示，则物理方程式必须完全相同，而且对应的相似准则必定数值相等。这就是相似第一定理。值得指出，一个物理现象中在不同的时刻和不同的空间位置相似准则具有不同的数值，而彼此相似的物理现象在对应时间和对应点则有数值相等的相似准则，因此，相似准则不是常数。

相似原理相似第二定理

要使试验模型同它所模拟的研究对象相似，试验的结果才能应用到研究对象上去。判断两个现象是否相似，往往不能用物理量在对应时间和空间的分布是否保持同一比值来判定。例如，风洞中模型飞机流场与实际飞行着的飞机流场相似问题，往往只知道飞机远前方的来流速度，飞机附近的流场分布却不知道，因此不能根据相似定义来判断二者是否相似。

两个物理现象相似，必定是同一类物理现象。因此，描述物理现象的微分方程组必定相同，这是现象相似的第一个必要条件。

单值条件相似是物理现象相似的第二个必要条件。因为服从同一微分方程组的同类现象有许多，单值条件可以将研究对象从无数多现象中单一地区分出来，数学上则是使微分方程组有唯一解的定解条件。

单值条件中的物理量所组成的相似准则相等是现象相似的第三个必要条件。

反过来说，属于同一类物理现象且单值条件相似时，两个现象才有时间和空间的对应关系以及与时间和空间联系的相同物理量，如果对应的相似准则相等，又保持了在对应的时间和空间点上物理量保持相同的比值，也就保证了两个物理现象的相似。

综上所述，相似条件可表述为：凡同一类物理现象，当单值条件相似且由单值条件中的物理量组成的相似准则对应相等时，则这些现象必定相似。这就是相似第二定理，它是判断两个物理现象是否相似的充分必要条件。

理论上，任意一个流动由控制该流动的基本微分方程和相应的定解条件唯一确定。两个相似的流动现象，为了保证它们遵循相同的客观规律，其微分方程就应该相同，这是同类流动的通解；此外，要求得某一具体流动的特解，还要求其单值条件也必须相似。这些单值性条件包括：

（1）初始条件，指非定常流动问题中开始时刻的流速、压力等物理量的分布；对于定常流动不需要这一条件。

（2）边界条件，指所研究系统的边界上（如进口、出口及壁面处等）的流速、压力等物理量的分布。

（3）几何条件，指系统表面的几何形状、位置及表面粗糙度等。

（4）物理条件，指系统内流体的种类及物性，如密度、粘性等。

因此，如果两个流动相似，则作为单值性条件相似，作用在这两个系统上的惯性力与其它各力的比例应对应相等。在流体力学问题中，若存在上述所有这六种力，而且满足动力相似，则必须使下列各力间的比例对应相等。

惯性力与压力（或压差）之比： Fi/Fp

惯性力与重力之比： Fi/fg

惯性力与摩擦力之比： Fi/Fv

惯性力与弹性力之比：Fi/Fe

惯性力与表面张力之比：Fi/Ft

上述五式式分别引入了五个无量纲数，它们依次是：

1）欧拉数Eu=2Δp/(ρ·V^2)，例如以后经常用到的表示物体表面压力分布的压强系数，以及升力系数和阻力系数等。物理上，欧拉数表征了惯性力与压强梯度间的量级之比。

2）弗劳德数Fr=V/sqrt (l·g)，物理上，弗劳德数表征了惯性力与重力间的量级之比，是一个表征流速高低的无量纲量。

3）雷诺数Re=Vl/υ,物理上，雷诺数表征了相似流动中惯性力与粘性力间的量级之比，流动的Re数小，表示与惯性力的量级相比，粘性摩擦力的量级要大得多，因此可以忽略惯性力的作用；反之,Re数大则表示惯性力起主要作用，因此可以当作无粘流体处理。

4）马赫数Ma=V/c,物理上，马赫数表征了惯性力与弹性力间的量级之比，是气体可压缩性的度量，通常用来表示飞行器的飞行速度或者气流的流动速度。

5）韦伯数We, 物理上，韦伯数表征了惯性力与表面张力间的量级之比。

可以看出，Eu、Fr、Re、Ma和We都是无量纲数，在相似理论中称作相似准则或者相似判据，它们是判断两个现象是否相似的依据。因而，彼此相似的现象，其同名相似准则的数值一定相等。反之，如果两个流动的单值条件相似，而且由单值条件组成的同名相似准则的数值相等，则这两个现象一定相似。

（1）几何相似

几何相似是指模型与其原型形状相同，但尺寸可以不同，而一切对应的线性尺寸成比例，这里的线性尺寸可以是直径、长度及粗糙度等。如用下标p和m 分别代表原型和模型，则

线性比例常数可表示为 Cl=lp/lm

面积比例常数可表示为 Ca=Ap/Am=Cl^2

体积比例常数可表示为 Cv=Vp/Vm=Cl^3

（2）运动相似

运动相似是指对不同的流动现象，在流场中的所有对应点处对应的速度和加速度的方向一致，且比值相等，也就是说，两个运动相似的流动，其流线和流谱是几何相似的。

速度比例常数可表示为 Cv=Vp/Vm；

由于时间的量纲是l/V，因此时间比例常数为 Ct=tp/tm=(lp/Vp)/ (lm/Vm)=Cl/Cv

由此加速度比例常数Ca=ap/am=Cv/Ct=CI/Ct^2

（3）动力相似动力相似即对不同的流动现象，作用在流体上相应位置处的各种力，如重力、压力、粘性力和弹性力等，它们的方向对应相同，且大小的比值相等，也就是说，两个动力相似的流动，作用在流体上相应位置处各力组成的力多边形是几何相似的。

一般地说，作用在流体微元上的力有重力Fg、压力Pp、粘性力Fv、弹性力Fe和表面张力Ft。如果流体是作加（减）速运动，则加上惯性力Fi后，上述各力就会组成一个力多边形，因此Fg Fp Fv Fe Ft Fi=0。

当然，在许多实际问题中，上述各力并非同等重要，有时有些力可能不存在或者小得可以忽略不计，例如Fe和Ft，见图。如果在满足几何相似及运动相似的两个流动现象中，作用在任何流体微元上的力有Fg、Fp、Fv和Fi等，于是，如果这些力满足以下条件，则说两个现象是动力相似的。

动力比例常数可表示为：Cf=Fgp/Fgm= Fpp/Fpm= Fvp/Fvm= Fip/Fim=…

满足以上相似条件时，两个流动现象（或流场）在力学上就是相似的。这三种相似条件中，几何相似是运动相似和动力相似的前提和依据，动力相似是则是流动相似的主导因素，而运动相似只是几何相似和动力相似的表征；三者密切相关，缺一不可。